Potens i decimal

Dkcre skrev:

Hej!

Vad betyder exempelvis 27^1/3? Hur skriver man ut det? Varför? Boken förklarar att ✓a = a^1/2 men tycker inte det räcker riktigt. Okej, det betyder tredje roten ur.. men varför då.

Är du med på att 3³ = 27?

Smaragdalena skrev:

Dkcre skrev:

Hej!

Vad betyder exempelvis 27^1/3? Hur skriver man ut det? Varför? Boken förklarar att ✓a = a^1/2 men tycker inte det räcker riktigt. Okej, det betyder tredje roten ur.. men varför då.

Är du med på att 3³ = 27?

Ja.

Det omvända till roten ur är ^2, alltså är ^1/3.. något annat. 

Vet inte om jag förstår roten ur alls egentligen. 2^0.5 är 1.41, men 2^2 betyder 2×2=4. Och 2^3 beryder 2×2×2=8. Men 2^0.5 betyder inte 2×1, eller 2×0.5 för den delen.

Är du med på att 1,41² = 2, i alla fall om man tar med fler decimaler?

Smaragdalena skrev:

Är du med på att 1,41² = 2, i alla fall om man tar med fler decimaler?

Ja.  Det enda jag inte är med på är när det är under 1 i exponenten.

Det finns en potenslag som lyder (a^b)^c = a^b•c.

Den kan vi använda för att förstå hur vi ska tolka potenser med rationella tal i exponenten.

Till exempel har vi att $4^{1/2}=(2^2)^{1/2}= 2^{2\cdot1/2}=2^1=2$. Vi skriver $4^{1/2}$ lite kortare som $\sqrt{4}$.

Vidare har vi att $8^{1/3}=(2^3)^{1/3}=2^{3\cdot1/3}=2^1=2$. Vi skriver $8^{1/3}$ lite kortare som $\sqrt[3]{8}$.

Generellt gäller att $a^{1/b}=\sqrt[b]{a}$. Denna formel hittar du i ditt formelblad.

Blev det klarare då?

Yngve skrev:

Det finns en potenslag som lyder (a^b)^c = a^b•c.

Den kan vi använda för att förstå hur vi ska tolka potenser med rationella tal i exponenten.

Till exempel har vi att $4^{1/2}=(2^2)^{1/2}= 2^{2\cdot1/2}=2^1=2$. Vi skriver $4^{1/2}$ lite kortare som $\sqrt{4}$.

Vidare har vi att $8^{1/3}=(2^3)^{1/3}=2^{3\cdot1/3}=2^1=2$. Vi skriver $8^{1/3}$ lite kortare som $\sqrt[3]{8}$.

Generellt gäller att $a^{1/b}=\sqrt[b]{a}$. Denna formel hittar du i ditt formelblad.

Blev det klarare då?

Jag förstår. Men kan man representera 8^1/3 som 8 gånger någonting eller dividerat med någonting istället för att förhålla sig till lagarna?

Nej, inte 8 multiplicerat eller dividerat med något. Däremot något som följer av lagarna.

8^1/3 är det tal som multiplicerat med sig självt två gånger (alltså tre faktorer 8^1/3) blir 8.

8^1/3*8^1/3*8^1/3 = 8^3*1/3 = 8¹ = 8.

Alltså $\sqrt[3]{8}$ eller kort och gott 2.

Exempel: Om en kub har volymen 7 dm³ skriver vi sidlängden som $\sqrt[3]{7}$ dm,
men vi kan också skriva 7^1/3 dm på samma sätt som ovan.
Det brukar man inte göra i svar, men däremot när det är fråga om fortsatt potensräkning,
eftersom alla potenslagar gäller även när exponenterna är bråk.

Och räknare eller kalkylatorn i Windows har inte (eller brukar inte ha) kubikrotsknapp,
däremot x^y där man för y knappar in 1/3.

Du kan f ö titta på enheterna: dm = dm¹ = dm^3/3.
Vi delar exponenten med 3 för att gå från kubikdecimeter till decimeter.

Tack för alla svar!