Positiva serier

Det går att lösa med kvotkriteriet.   (om det går med jämförelsekriteriet eller inte låter jag vara osagt)

Testa att skriva upp kvoten och förenkla så långt du kan.

boman98 skrev:

Hej!

jag håller på och jobbar med serier och kom till denna uppgift där jag ska  bestämma om summan konvergerar eller divergerar

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{({\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{n}}^{\mathrm{\pi }})}$

Hur börjar jag med denna. Jag har gått igenom jämförelse-  och kvotkriteriet

 $$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{({\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{n}}^{\mathrm{\pi }})} \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{({\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}+1}-(\mathrm{n}+1{)}^{\mathrm{\pi }})} \end{gathered}$$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{({\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{n}}^{\mathrm{\pi }})}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}+1}-(\mathrm{n}+1{)}^{\mathrm{\pi }}}=\frac{{\displaystyle {\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}}(1-\frac{n^{\mathrm{\pi }}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}}})}}{{\displaystyle {\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}}(\mathrm{\pi }-\frac{(\mathrm{n}+1{)}^{\mathrm{\pi }}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}}})}}\approx \frac{1}{\mathrm{\pi }}<1$

I och med att kvoterna i täljaren och nämnaren kommer att gå mot noll då exponetial funktioner växer fortare än potensfunktioner. och detta visar att 

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{({\mathrm{\pi }}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{n}}^{\mathrm{\pi }})}$ är konvergent

Det stämmer att den är konvergent men är utförandet korrekt?