Positiva delare

Faktorisera talet. Du vet att $14=2*7$ och $6=2*3$. Då vet du också att $14^{14}=(2*7)^{14}=2^{14}*7^{14}$. Gör samma för $6$ så får du $6^{4}=2^4*3^4$. Då står allt på formen $2^{14}*7^{14}*2^4*3^4$. Använd nu att alla delare måste antingen ha en 2:a, 7:a eller 3:a i sig och försök permutera så att du får alla positiva delare.

Om vi har ett tal n och vill veta antalet delare till det, om vi då vet att

$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$

Då är alltså alla delare $d$ på formen

$p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}$

där $0 \le \beta_1 \le \alpha_1$, $0 \le \beta_2 \le \alpha_2$, ..., $0 \le \beta_k \le \alpha_k$. Så detta innebär att för varje val av $\beta$n vi gör som uppfyller detta så får vi en delare till n, och vi kan bilda alla delare på detta sättet.

Så vi kan välja $\beta_1$ på $\alpha_1 + 1$ olika sätt, $\beta_2$ på $\alpha_2 + 1$ olika sätt, osv. Detta innebär att det finns $(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\cdots (\alpha_k + 1)$ olika delare till talet.

Kan du använda detta för att finna antalet delare åt $14^{14} \cdot 6^4$?

Nej tyvärr, läser matematik på en ganska grundläggande nivå så den första förklaringen var enklare för mig att tillämpa men sista meningen förstod jag inte. Någon som kan utveckla den? Tack!

Talet är en produkt av 18 tvåor, 14 sjuor och 4 treor. En delare är produkten av (minst noll, högst 18) tvåor gånger...

Välj ut något antal tvåor gånger något antal sjuor gånger något antal treor. Det går att göra på hur många sätt?

hampestampe skrev :

Nej tyvärr, läser matematik på en ganska grundläggande nivå så den första förklaringen var enklare för mig att tillämpa men sista meningen förstod jag inte. Någon som kan utveckla den? Tack!

Om vi tar ett lättare tal. Exempelvis $10$, då har vi ju att $10 = 2^1 \cdot 5^1$, delarna till $10$ är nu

$2^0 \cdot 5^0, 2^1 \cdot 5^0, 2^0 \cdot 5^1, 2^1 \cdot 5^1$

Så för att få en delare så kan vi antingen välja exponenten till $2$ som $0$ eller $1$, samma för exponenten för $5$. Eftersom vi kan välja exponenten för $2$ på $2$ olika sätt och exponenten för $5$ på $2$ olika sätt så får vi $2\cdot 2 = 4$ delare.

Samma resonemang går att använda på det talet du har.

Ta t.ex. talet $2^2·3^1$

 $2^2$ har faktorerna $2^0, 2^1, 2^2$ alltså $3$st.

$3^1$ har faktorerna $3^0, 3^1$ alltså $2$st.

Kombinationerna av alla möjliga delare blir då $3·2=6$

Detta kan du se själv i följande tabell, d.v.s 6 st delare.

$\begin{array}{|cccc|}\hline & 2^0& 2^1& 2^2\\ 3^0& 1& 2& 4\\ 3^1& 3& 6& 12\\ \hline\end{array}$

Snodde detta härifrån: https://math.stackexchange.com/questions/1118616/find-how-many-positive-divisors-a-number-has-what-would-you-do

Så jag förstod det hela! :)

Tack Minounderstand, förstod det hela nu :)