Positiv och negativ lösning (Matematik/Matte 3)

Hur menar du med att du sätter ± i HL? Kvadrera båda led, och hitta alla möjliga lösningar till den kvadrerade ekvationen, och undersök vilka rötter som är äkta. :)

852sol skrev:
Hej, i exempelvis $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = \pm \sqrt{5}$ då sätter + och - i HL men borde det inte vara + och - i VL också?
Tack på förhand

Det behövs inte. Jag antar att ursprungsekvationen lyder $(x-1)^2=5$ .

Då är den egentliga lösningen $\pm (x-1)=\sqrt{5}$ , men vi skriver $x-1=\pm\sqrt{5}$ eftersom det är enklare att skriva och att förstå.

Yngve skrev:
852sol skrev:
Hej, i exempelvis $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = \pm \sqrt{5}$ då sätter + och - i HL men borde det inte vara + och - i VL också?
Tack på förhand
Det behövs inte. Jag antar att ursprungsekvationen lyder $(x-1)^2=5$ .
Då är den egentliga lösningen $\pm (x-1)=\sqrt{5}$ , men vi skriver $x-1=\pm\sqrt{5}$ eftersom det är enklare att skriva och att förstå.

Ahh, okej. Men när man tar roten ur något blir det väl alltid två lösningar? Borde det inte vara två lösningar på båda sidorna?

Tack på förhand

Nej, om du bara drar roten ur något, exempelvis $x = \sqrt{16}$ får du en lösning (x = 4). Om du har en ekvation i stil med $x^{2} = 5$ måste du sätta ± framför rotuttrycket.

Nej.

"Roten ur" ett positivt tal är "det positiva tal som ger svaret när det kvadraras". $\sqrt{(x-1)^2}$ är alltså alltid ett positivt tal, både om (x-1) är positivt och om (x-1) är negativt.

Däremot är det så att ekvationen x^2=a, där a är ett positivt tal har två lösningar, $x=\sqrt{a}$ och $x=-\sqrt{a}$ .

pepparkvarn skrev:
Nej, om du bara drar roten ur något, exempelvis $x = \sqrt{16}$ får du en lösning (x = 4). Om du har en ekvation i stil med $x^{2} = 5$ måste du sätta ± framför rotuttrycket.

Ahh, ok! Men om en ekvation skulle se ut såhär $\sqrt{{(x - 4)}^{2}} = \sqrt{25^{2}}$ blir det plus och minus på båda sidorna då?

Tack på förhand

852sol skrev:
pepparkvarn skrev:
Nej, om du bara drar roten ur något, exempelvis $x = \sqrt{16}$ får du en lösning (x = 4). Om du har en ekvation i stil med $x^{2} = 5$ måste du sätta ± framför rotuttrycket.
Ahh, ok! Men om en ekvation skulle se ut såhär $\sqrt{{(x - 4)}^{2}} = \sqrt{25^{2}}$ blir det plus och minus på båda sidorna då?
Tack på förhand

Nej. Den ekvationen löser du på följande sätt:

$\sqrt{25}=5$

$\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|$

Det betyder att ekvationen har lösningar enligt $|x-4|=5$ , dvs $x_1=9$ och $x_2=-1$

Uppgiften som 852sol skrev hade roten ur 25² i HL, men man löser den på samma sätt.

Smaragdalena skrev:
Uppgiften som 852sol skrev hade roten ur 25² i HL, men man löser den på samma sätt.

Så det skulle inte kunna bli $\pm \sqrt{{(x - 4)}^{2}} = \pm \sqrt{25^{2}}$ ?

Tack på förhand

852sol skrev:
Smaragdalena skrev:
Uppgiften som 852sol skrev hade roten ur 25² i HL, men man löser den på samma sätt.
Så det skulle inte kunna bli $\pm \sqrt{{(x - 4)}^{2}} = \pm \sqrt{25^{2}}$ ?
Tack på förhand

Nej, du löser det på det sättet som Yngve beskrev.

Om man skriver $\pm x = \pm y$ så säger man att någon av dessa gäller:

x = y
x = -y
-x = y
-x = -y

och två av dessa är onödiga, så det räcker att säga $x = \pm y$ .

Ibland vill man markera speciellt att om det är plus på det ena stället så är det minus på det andra, t.ex. $x = 5 \pm 2$ , $y = 5 \mp 2$ .

Laguna skrev:
Om man skriver $\pm x = \pm y$ så säger man att någon av dessa gäller:
x = y
x = -y
-x = y
-x = -y
och två av dessa är onödiga, så det räcker att säga $x = \pm y$ .
Ibland vill man markera speciellt att om det är plus på det ena stället så är det minus på det andra, t.ex. $x = 5 \pm 2$ , $y = 5 \mp 2$ .

Vilka är dock onödiga? Alla är ju olika.

Tack på förhand

852sol skrev:
Laguna skrev:
Om man skriver $\pm x = \pm y$ så säger man att någon av dessa gäller:
x = y
x = -y
-x = y
-x = -y
och två av dessa är onödiga, så det räcker att säga $x = \pm y$ .
Ibland vill man markera speciellt att om det är plus på det ena stället så är det minus på det andra, t.ex. $x = 5 \pm 2$ , $y = 5 \mp 2$ .
Vilka är dock onödiga? Alla är ju olika.
Tack på förhand

Om man har x=y, så är -x=-y onödig - det är bara att multiplicera den ena med -1 på båda sidor för att få den andra.

Om man har x=-y, så är -x=y onödig - det är bara att multiplicera den ena med -1 på båda sidor för att få den andra.

Naturligtvis skulle man lika gärna kunna välja det andra alternativet, och då vore det första onödigt.

852sol skrev:

Vilka är dock onödiga? Alla är ju olika.
Tack på förhand

Nej. x = y och -x = -y säger exakt samma sak, så en av dessa är onödig.

På samma sätt säger x = -y och -x = y exakt samma sak, så även en av dessa är onödig.