Flervariabelanalys (sort of): divergens och stationära punkter

Det är lite otydligt vad din fråga är. 

Ojdå, jag redigerade bort den. Det jag undrar är hur den stationära punkten i origo kan vara en spiral när determinanten är 1.

Och en generellare fråga, hur kan determinanten och divergensen motsäga varandra vad gäller lokalt beteende (dvs divergensen är pos eller neg, determinanten är större/mindre än 1)? Vilken är det som avgör i de fallen?

Jag kan vara ute och cykla här, men när det handlar om diffekvationer är väl egenvärdena de man stoppar upp framför x i e för att få en figur? Raka linjer ut in om de är reella och snurr om de är komplexa? (hör kanske ihop med att sin och cos är e^i..? 🤔) Räcker determinanten för att säga något om utseendet? Och går inte gränsen för in/ut vid 0 då?

Jacobimatrisen och dess determinant kan användas för att beskriva vad som lokalt sker för en volym nära punkten du analyserar så visst, den är högst relaterad till divergens och rotation. Men varför skulle rotationsmatrisen alltid ge en cirkel? Det beror på vilka punkter du analyserar.

Du har en karakteristisk ekvation för dina egenvärden:

$\lambda^2 - \tau \lambda + \zeta = 0$

Där alltså $\tau = tr(A) = a+d$ och $\zeta= det(A) = ad - bc$. Vi får:

$\lambda_{1,2} = \dfrac{\tau \pm \sqrt{\tau^2-4\zeta}}{2}$

Baserat på denna lösning kan vi fundera kring stabilitet och Poincaré diagram. Om $\zeta >0$ och $\tau^2 <4\zeta$ har vi som Micimacko pratade om komplext konjugata egenvärden där om vi speciellt har $\tau = 0$ fås något mittemellan stabilitet och instabilitet i form av en "center" lösning vilket jag antar är vad du menar med cirkel? Studeras rotation-matrisen du ansatt A till får vi:

$\tau = 2\cos t$

$\zeta = \cos^2 t - \sin^2 t$

Gäller villkoret för denna typ av stabilitet? Vi testar $t=45^{\circ}$ och får:

$\tau = \sqrt{2}$

$\zeta = 1$

Vi förstår alltså genast att eftersom $\tau \neq 0$ har vi inte en "center" lösning utan eftersom $\tau^2 <4\zeta$ är uppfyllt men $\tau >0$ fås en instabil spiral eller en s.k. repulsiv spiral.

Qetsiyah skrev:

Det jag funnit är att matrisen (cost, -sint ; sint, cost) inte alltid ger en cirkel, men min intuition säger att den ska det... 

Gissning

Detta är starkt relaterat till om huruvida koefficientmatrisen leder till stationära punkter vilka ger upphov till de tillväxthastigheter $\lambda_i$, och mer specifikt den nollskilda styvhet hos lösningen, som gör att en "central" form inte är möjlig.

Notis: Jag är liksom Micimacko aningen ute på hal is i kring detta då det var ett långt tag sedan jag studerade just differentialekvationer på en högre nivå än att bara skjutsa in allt i en lösare.

Tillägg: 21 sep 2021 01:56

Varför skulle faktumet att determinanten är lika med 1 innebära avsaknad av källor eller sänkor?

Asså jacobimatrisen uträknad i en punkt är väl en linarisering av koordinattransformen? Eller lineariaering av vektorfältet. Om då determinanten är 1 tycker jag att punkten ska va källfri/sinkfri alltså divergens noll, alltså en center.

Men så är det inte, för divergensen är i vårt fall exakt lika med trace som är lika med a+d, så determinanten kan vara vad som helst medan div=0, de har inget med varandra att göra. Men jag tycker inte det makes sense.

Qetsiyah skrev:

Asså jacobimatrisen uträknad i en punkt är väl en linarisering av koordinattransformen? Eller lineariaering av vektorfältet. Om då determinanten är 1 tycker jag att punkten ska va källfri/sinkfri alltså divergens noll, alltså en center.

Okej, men varför? Du kan bara ha en center om spåret är lika med noll och determinanten är positiv.

Men så är det inte, för divergensen är i vårt fall exakt lika med trace som är lika med a+d, så determinanten kan vara vad som helst medan div=0, de har inget med varandra att göra. Men jag tycker inte det makes sense.

Så, det du har problem med är vad determinanten av Jacobimatrisen innebär? Du skriver att den kan vara vad som helst men jag förstår inte riktigt vad du menar. Om spåret är lika med noll kan inte determinanten vara vad som helst...

Du får sadelpunkt som vrider sig om den är negativ och en ellips/cirkel som vrider sig om den är positiv. Allt detta i linje med om huruvida mappningen behåller orientering eller ej. Storleken är som bekant direkt relaterad till hur mycket den expanderar/krymper.