Populationen av sorkar
Populationen av sorkar på en skärgårdsö omväxlande minskar och ökar med 10% per år. Det första året sker en minsking med 10%.
När kommer populationen för första gången att understiga 50% av den ursprungliga?
Vad blir resultatet på ovanstående fråga om det istället sker en ökning med 10% det första året?
——-
1) Om det först ökar med 10% så blir det 1,1 , sedan så minskar det med 10% då blir det (0,9 x 1,1)^ t = 0,5 där t är antal år.
2) man kmr få samma resultat för 1,1*0,9 eller 0,9*1,1 ger samma förändringsfaktor
Fattar inte om det är så man ska tänka
Om vi istället försöker besvara frågan:
När kommer populationen för första gången vara 90 % av den ursprungliga?
så får vi en fråga som är ganska enkel att besvara: efter ett år, eftersom den minskade med 10 % första året.
Om man använder metoden du föreslog kommer vi komma fram till att det krävs att t=11(0,99^11=~0,8953<0,90) för att vi ska ha nått under 90 %. Detta motsvarar 11 tillväxtår och 11 förlustår, d.v.s. 22 år, vilket är avsevärt mer än 1 år.
För att lösa uppgiften kan man istället fråga sig: vad måste antalet sorkar vara som andel av ursprungsmängden för att vi nästa förlustår skall understiga 50 % av ursprungsmängden? Då spelar det roll om vi börjar med ett tillväxtår eller om vi börjar med ett förlustår.
Hur kommer de båda fallen att utveckla sig om du endast studerar år 1, 3, 5, 7...?
Alltså ska man lösa den ekvationen
(1,1*0,9)^x < 0,5
Du tänker inte helt rätt-men nästan! Första gången populationen understiger 50% måste vara ett år med 10% minskning. Eftersom första året år en minskning understigs 50% efter ett udda antal år säg 2x-1 år. Då kommer populationen minska under x år och öka under x-1 år. Alltså söker vi det minsta x så att 0,9^x•1,1^(x-1) understiger 50%. Logaritmering ger på vanligt sätt x=60 vilket ger att det tar 60+59=119 år innan populationen understiger 50%.
Man ska alltså utgå från att det finns x jämna år som har en ökning och (x-1) år (udda åren) då är det en minskning? Varför ska man ta x-1? Varför ska man ta x?
Alltså
(0,9^x * 1,1^ (x-1) ) < 0,50
Tänk efter. Om vi studerar populationen efter exempelvis 9 år så har minskning skett under 5 år och ökning under 4 år. Detta beror på att första året är en minskning och att ökning sker vartannat år.
Så x står för ett år (jämn) och x-1 står för ett annat år som då tex kan vara udda
Eftersom minskning sker år 1, 3, 5 osv måste populationen understiga 50% efter ett udda antal år. Om minskning sker under x år sker ökning under x-1 år,eller hur. Det betyder alltså att vi sker det minsta x så att 0,9^x•1,1^(x-1) är mindre än 50%
