Population som ökar enligt y'=0,016y och nettoutvandringen är 0,25 miljoner/år, vilken ekvation?

Det är absolut inte en dum fråga! Vi provar att använda denna lösning och ser om det fungerar med kravet att $y\text{'}=0,016y-0,25$:

Om vi deriverar vårt y får vi: $y\text{'}=0,016·12e^{0,016t}-0,25$. Vi kan nu sätta in detta i kravet:

$$\begin{gathered} 0,016·12e^{0,016t}-0,25\stackrel{?}{=}0,016·\left(12e^{0,016t}-0,25t\right)-0,25 \\ 0,016·12e^{0,016t}-0,25\stackrel{?}{=}0,016·12e^{0,016t}-0,016·0,25t-0,25 \\ -0,25\stackrel{?}{=}-0,016·0,25t-0,25 \\ 0\ne -0,016·0,25t \end{gathered}$$

Kort sagt: Ditt lösningsförslag stämmer inte. Ett sätt att notera detta på är att integrera båda led med avseende på t: 

$$\begin{gathered} \int y\text{'}dt=\int \left(0,016y-0,25\right)dt \\ \int y\text{'}dt=\int 0,016y dt+\int 0,25dt \\ y+C=\int 0,016y dt+0,25t \end{gathered}$$

Det mesta ser bra ut, allt förutom $\int 0,016y dt$. Vad är $\int 0,016y dt$? Vi vet inte vad integralen av y är. Därför fungerar det tyvärr inte. :(

Du har fått ett ypperligt svar av Smutstvätt, men ett annat sätt att tänka på det:

Om du börjar med $y = 12e^{0.016t} - 0.25t$ och deriverar, får du:

$y' = 0.016\cdot 12e^{0.016t} - 0.25$

Jag förstår din tanke här. Målet var att derivatan skulle bli 0.016 gånger det vi började med, och sen minus 0.25. Men, "det vi började med", alltså y, innehåller ju även termen 0.25t. Så för att matcha diffekvationen skulle 0.25t *också* behöva återuppstå i derivatan, och multipliceras med 0.016. Innan vi sen drar bort 0.25. Dvs, derivatan skulle behöva bli

$y' = 0.016\cdot (12e^{0.016t} - 0.25t) - 0.25$

för att ditt y skulle fungera. Problemet är alltså att bara exponentialfunktionen, inte hela y, multipliceras med 0.016 i din derivata.

Tack, jag tror jag förstår!!! :)