Polynomfunktion f(x) och dess derivata (Matematik/Matte 3/Derivata)

Hej!

I själva verket behöver du bara tänka på uppgiften rent logiskt. Tror inte att du ska behöva göra något matematiskt bevis i matte 3 utan vissa din förståelse över området.

Du vet att derivatan dvs lutning för funktionen ska vara positiv för alla värden på x. Detta medför att funktionen behöver växa snett upp mot höger konstant. Du kan inte passerar en nivå upprepande gånger, utan att du är tvungen att gå ner längs kurvan och sedan upp igen.

Så vilka/vilken typ av funktion uppfyller det villkoret? Därefter kan du svara på uppgiftens fråga i sig.

Du behöver "bara" besvara två frågor.

Kommer funktionens graf över huvud taget att passera x-axeln?
Om den har passerat x-axeln, kommer grafen då att kunna vända tillbaka och passera x-axeln igen?

Partykoalan skrev:
[...]
Min teori är att alla polynomfunktioner med udda exponenter, som räta linjens ekvation, tredje gradens polynom, femte gradens polynom osv som har positiv derivata för alla x måste skära x-axeln en gång.

Ja, det finns sådana polynomfunktioner. Och de skär x-axeln en gång.

Alla polynomfunktioner med jämna exponenter som andragradens polynom och fjärdegradens polynom med positiv derivata har noll reella lösningar och därmed inte skär x-axeln en enda gång.

Nej det finns inga sådana polynomfunktioner. Alla polynomfunktioner med jämn (ledande) exponent har en förstaderivata med udda (ledande) exponent.

Det betyder i sin tur att vi alltid kan välja ett x-värde (tillräckligt långt bort från origo) som gör att förstaderivatan är negativ.

Därför har polynomfunktioner med jämna exponenter inga reella lösningar för f(x)=0. Hur visar jag detta grafiskt och algebraiskt?

Jodå, det finns massor av polynomfunktioner med jämn (ledande) exponent som har reella lösningar till ekvationen $f(x) = 0$ .

T.ex. $f(x)=x^2-1$

Hej!

Tack för era svar! Mitt resonemang är att ekvationer av ex. första och tredje graden som är växande för alla x dvs har positiv derivata för alla x måste passera x-axeln en gång. Därmed har f(x)=0 en reell lösning för dessa funktioner eftersom dessa aldrig vänder neråt utan är strängt växande för alla x snett till höger, som Jonis sa. Däremot är funktioner av andra och fjärde graden sådana att dessa måste vända åtminstone en gång ( för x^2) och åtminstone två gånger (för x^3).

Om derivatan av en funktion av femte graden alltid är positiv för alla x kommer derivatan för den funktionen vara en funkton av fjärde graden. Den funktionen kommer aldrig att understiga x-axeln, eller hur?

Likaså är en derivata av tredje graden en andragradsfunktion. Om f(x)=x^3 är växande för alla x kommer däremot 3x^2 dvs. dess derivata aldrig att understiga x axeln just eftersom 3x^2 är en derivata. Dvs. f’(x)=3x^2 och f(x)=x^3. Är mitt resonemang korrekt?

x^4 vänder bara en gång.

En fjärdegradsfunktion med positiv x^4-term kan gå under x-axeln. Dra bort en tillräckligt stor konstsnt.

Precis. En fjärdegradsfunktion kan understiga x-axeln om den inte är den derivatafunktion. Om den däremot är en derivatafunktion av en funktion av femte graden och den funktionen är positiv för alla x, då kommer f(x)=x^4 aldrig understiga x-axeln eftersom x^5 är positiv för alla x. Eller hur?

Partykoalan skrev:
Precis. En fjärdegradsfunktion kan understiga x-axeln om den inte är den derivatafunktion. Om den däremot är en derivatafunktion av en funktion av femte graden och den funktionen är positiv för alla x, då kommer f(x)=x^4 aldrig understiga x-axeln eftersom x^5 är positiv för alla x. Eller hur?

Jag förstår inte alls vad du försöker säga.

Det existerar ingen femtegradsfunktion som är positiv för alla x - om koefficienten för femtegradstermen är positi är funktionen negativ för tillräckligt stora negativa tal och positiv för tillräckligt stora positiva tal, och tvärtom ifall koefficienten för femtegradstermen är negativ. Det är likadant för alla polynomfunktiner av udda grad - de skär alltid x-aceln på minst ett ställe.

Jag försöker poängtera följande: En funktion f(x) är växande för alla x. Den funktionen är ex. f(x) =x^5. Då är derivatan f’(x)=5x^4. Eftersom x^5 är växande för alla x kommer den funktionen passera x-axeln en gång i x=0 (terrasspunkt) vilket för övrigt är den enda extrempunkten.

Derivatan f’(x)=5x^4 kommer därför aldrig att understiga x-axeln eftersom den just visar funktiones lutning i en punkt och f(x)=x^5 är växande för alla x förutom i origo där lutningen är noll. Just därför kommer f’(x)=5x^4 ha sitt minsta värde i origo, men aldrig understiga x-axeln. Hur utvidgar jag detta påstående mer generellt?

Om en funktion f(x) är växande för alla x, dvs f’(x)>0 måste den funktionen därför ha en reell lösning för f(x)=0, dvs f(x) måste passera x-axeln en gång ( för f(x) med udda exponent). Ska en funktion f(x) vara växande för alla x ska den ju inte ha några terrasspunkter, det är jag medveten om, men nu tog jag bara upp ett exempel för att visa mitt resonemang.

En funktion är växande, men inte strängt växande, om den har en terrasspunkt.

Det stämmer, och det är jag medveten om. Men om en funktion är växande för alla x, (f’(x)>0) hur många reella lösningar har då f(x)=0 om man tänker generellt?

Smaragdalena skrev:
En funktion är växande, men inte strängt växande, om den har en terrasspunkt.

Nej det stämmer inte helt.

Dels kan terasspunkter finnas även hos avtagande funktioner, dels kan även en terrasspunkt ingå i ett strängt växande (eller avtagande) intervall. T.ex. är funktionen $f(x)=x^3$ strängt växande överallt trots att den har en terrasspunkt, eftersom den överallt uppfyller villkoret att om $x_1<x_2$ så gäller att $f(x_1)<f(x_2)$ .

Partykoalan skrev:
Det stämmer, och det är jag medveten om. Men om en funktion är växande för alla x, (f’(x)>0) hur många reella lösningar har då f(x)=0 om man tänker generellt?

Du blandar ihop begreppen lite.

Om $f(x)$ är växande för alla x så gäller att $f'(x)\geq0$ för alla x.
Om $f(x)$ är strängt växande för alla x så gäller att $f'(x)>0$ för alla x.

-------

Men som svar på din fråga om hur det är rent generellt:

En funktion som är växande för alla $x$ kan ha oändligt många nollställen. Till exempel funktionen $f(x)=0$ , som är växande (och avtagande) för alla x och som har nollställen överallt.
En funktion som är strängt växande för alla $x$ har max ett nollställe. För kontinuerliga funktioner (dvs sådana där det går att rita grafen utan att lyfta pennan), gäller att det finns exakt ett nollställe, dvs exakt en lösning till ekvationen $f(x)=0$ .

Hej Yngve!

Om en funktion f(x) är strängt växande för alla x, så har den funktionen alltså max ett nollställe, dvs max en reell lösning till f(x)=0. Dettta gäller de funktioner som inte har någon reell lösning till f’(x)=0 och därmed inte heller har någon extrempunkt där graferna kan vända, eller hur. Dessa funktioner måste alltså passera x-axeln max en gång och därför har de också en reell lösning för f(x)=0. Stämmer det?

Detsamma gäller också för funktioner f(x) som är strängt avtagande för alla x. Funktioner som är strängt växande/ avtagande för alla x måste alltså vara funktioner som saknar extrempunkter och dessa har udda exponenter som ex. x, x^3, x^5, x^7 osv medan alla funktioner med jämn exponent som x^2, x^4, x^6 osv har minst en extrempunkt och därmed vänder minst en gång.

Dessa funktioner är inte strängt växande/avtagande för alla x och därför måste passera x-axeln minst en gång dvs har minst en reell lösning till f(x)=0. Eller hur?

Skulle du också kunna förklara ditt första påstående om hur en funktion som är växande för alla x kan ha oändligt många nollställen?

Partykoalan skrev:
Hej Yngve!
Om en funktion f(x) är strängt växande för alla x, så har den funktionen alltså max ett nollställe, dvs max en reell lösning till f(x)=0.

Ja det stämmer.

Dettta gäller de funktioner som inte har någon reell lösning till f’(x)=0 […]

Nej det stämmer inte. T.ex. är funktionen $f(x)=x^3$ strängt växande för alla $x$ . Dess derivata är $f'(x)=3x^2$ och ekvationen $f'(x)=0$ har de reella lösningarna $x_1=x_2=0$ .

[…] och därmed inte heller har någon extrempunkt där graferna kan vända, eller hur.

Ja, det stämmer att strängt växande funktioner inte har några extrempunkter och att graferna därför inte kan "vända" (en terrasspunkt är inte en extrempunkt).

Dessa funktioner måste alltså passera x-axeln max en gång och därför har de också en reell lösning för f(x)=0. Stämmer det?

Ja för kontinuerliga funktioner (som jag beskrev tidigare) så stämmer det.

Detsamma gäller också för funktioner f(x) som är strängt avtagande för alla x. Funktioner som är strängt växande/ avtagande för alla x måste alltså vara funktioner som saknar extrempunkter och dessa har udda exponenter som ex. x, x^3, x^5, x^7 osv […]

Nja, det beror på vilka termer som ingår i funktionen och vilka deras koefficienter är. Det räcker inte att funktionen endast består av termer med udda exponenter för att den ska vara strängt växande. T.ex. är $f(x)=x^3+x$ strängt växande, saknar extrempunkter och har endast ett reellt nollställe, medan $g(x)=x^3-x$ inte är strängt växande, har två extrempunkter och tre reella nollställen.

[…] medan alla funktioner med jämn exponent som x^2, x^4, x^6 osv har minst en extrempunkt och därmed vänder minst en gång.

Ja det stämmer

Dessa funktioner är inte strängt växande/avtagande för alla x och därför måste passera x-axeln minst en gång dvs har minst en reell lösning till f(x)=0. Eller hur?

Nej det stämmer inte. T.ex. funktionen $f(x)=x^2+2$ har inget reellt nollställe, dess graf passerar aldrig x-axeln.

Skulle du också kunna förklara ditt första påstående om hur en funktion som är växande för alla x kan ha oändligt många nollställen?

Ja. Ta till exempel funktionen $f(x)=0$ . Dess graf är en horisontell linje som sammanfaller med $x$ -axeln.

Villkoret för att en funktion ska vara växande är att om $x_1<x_2$ så gäller att $f(x_1)\leq f(x_2)$ .

$f(x)$ uppfyller det villkoret, eftersom det gäller att $f(x_1)=f(x_2)$ , oavsett vilka $x_1$ och $x_2$ du väljer.

Det innebär alltså att $f(x)$ är en växande funktion. Samtidigt så gäller att $f(x)=0$ överallt, dvs alla värden på $x$ är nollställen till funktionen.

Tack för förklaringen!

Men om man säger såhär då: Funktionerna med jämna exponenter med positiva koefficienter (glad mun) vars grafer ligger över x-axeln, dvs för vilka det gäller att f(x)>0, samt graferna med jämna exponenter med negativa koefficienter (ledsen mun) som ligger under x-axeln, dvs för vilka det gäller att f(x)<0 saknar reella lösningar för f(x)=0. Dessa grafer har åtminstone en reell lösning för f’(x)=0 dvs åtminstone en extrempunkt, och kan därför inte vara strängt växande/avtagande för alla x. Har jag rätt?

Funktioner med udda exponenter med positiva koefficienter (strängt växande/växande för alla x) som saknar extrempunkter ( men kan ha terrasspunkter) skär x-axeln maximalt en gång, och därför också har maximalt en reell lösning för f(x)=0.

Funktioner med udda exponenter med negativa koefficienter (strängt avtagande/avtagande för alla x) som saknar extrempunkter (men kan ha terrasspunkter) skär x-axeln maximalt en gång, och därför också har maximalt en reell lösning för f(x)=0. Stämmer det?

Angående din förklaring: f(x)=0 är växande för alla x oavsett vilka x1 och X2 man väljer. Eftersom det gäller att f(x1)<_f(x2) då x1<x2 så är den alltså växande, samt det faktum att den går längs x-axeln f(x)=0 gör att den har oändligt många nollställen. Men detta gäller bara när f(x)=0, det gäller inte om andra y-värden antas, eller hur? Ex. är f(x)=3 växande för alla x, men den saknar reella lösningar för f(x)=0?

Partykoalan skrev:
Tack för förklaringen!
Men om man säger såhär då: Funktionerna med jämna exponenter med positiva koefficienter (glad mun) vars grafer ligger över x-axeln, dvs för vilka det gäller att f(x)>0, samt graferna med jämna exponenter med negativa koefficienter (ledsen mun) som ligger under x-axeln, dvs för vilka det gäller att f(x)<0 saknar reella lösningar för f(x)=0. Dessa grafer har åtminstone en reell lösning för f’(x)=0 dvs åtminstone en extrempunkt, och kan därför inte vara strängt växande/avtagande för alla x. Har jag rätt?

Ja det stämmer.

Funktioner med udda exponenter med positiva koefficienter (strängt växande/växande för alla x) som saknar extrempunkter ( men kan ha terrasspunkter) skär x-axeln maximalt en gång, och därför också har maximalt en reell lösning för f(x)=0.
Funktioner med udda exponenter med negativa koefficienter (strängt avtagande/avtagande för alla x) som saknar extrempunkter (men kan ha terrasspunkter) skär x-axeln maximalt en gång, och därför också har maximalt en reell lösning för f(x)=0. Stämmer det?

Ja det stämmer.

Angående din förklaring: f(x)=0 är växande för alla x oavsett vilka x1 och X2 man väljer. Eftersom det gäller att f(x1)<_f(x2) då x1<x2 så är den alltså växande, samt det faktum att den går längs x-axeln f(x)=0 gör att den har oändligt många nollställen. Men detta gäller bara när f(x)=0, det gäller inte om andra y-värden antas, eller hur? Ex. är f(x)=3 växande för alla x, men den saknar reella lösningar för f(x)=0?

Ja det stämmer.

Okej.

Om vi sammanfattar det vi kommit fram till, hur skulle den sammanfattningen se ut? Kan man utföra en matematisk/algebraisk beräkning eller eventuellt rita flera grafer för att konstatera vad vi kommit fram till eller räcker det bara med det vi konstaterat?

Dvs. att en funktion vars f’(x)>0 för alla x har bara en reell lösning för f(x)=0 (för alla kontinuerliga funktioner som du sa). Man kan säga att anledningen till det är att funktioner med jämna exponenter har åtminstone en extrempunkt och för dessa funktioner kan det inte gälla att f’(x)>0 för alla x. För funktioner med udda exponenter kan det gälla att f(x)>0, och därför gäller det, precis som du sa att dessa funktioner har exakt en lösning till f(x)=0 eftersom dessa måste passera x-axeln en gång. Är detta en bra förklaring till problemet?

Varför anses inte terrasspunkter vara extrempunkter? Om de inte är det, kan det alltså innebära att en funktion är strängt växande för alla x, dvs f’(x)>0 för alla x vare sig den har en terrasspunkt eller inte. Funktioner som är växande för alla x dvs. f(x)>_0 kan också i sådana fall ha en terrasspunkt, utöver det att de kan vara konstanta, dvs bara bestå av konstanter. Dessa funktioner får däremot inte innehålla extrempunkter?

Partykoalan skrev:
Okej.
Om vi sammanfattar det vi kommit fram till, hur skulle den sammanfattningen se ut? Kan man utföra en matematisk/algebraisk beräkning eller eventuellt rita flera grafer för att konstatera vad vi kommit fram till eller räcker det bara med det vi konstaterat?

På gymnasienivå räcker det absolut med resonemanget.

Dvs. att en funktion vars f’(x)>0 för alla x har bara en reell lösning för f(x)=0 (för alla kontinuerliga funktioner som du sa). Man kan säga att anledningen till det är att funktioner med jämna exponenter har åtminstone en extrempunkt och för dessa funktioner kan det inte gälla att f’(x)>0 för alla x.

Nej anledningen till att strängt växande "uddaexponentfunktioner" bara skär x-axeln en gång är inte att "jämnexponentfunktioner" har åtminstone en extrempunkt.

För funktioner med udda exponenter kan det gälla att f(x)>0, och därför gäller det, precis som du sa att dessa funktioner har exakt en lösning till f(x)=0 eftersom dessa måste passera x-axeln en gång. Är detta en bra förklaring till problemet?

Du skriver f(x) > 0 men du menar f'(x) > 0. Orsaken till att de har exakt en lösning till f(x) = 0 är att de passerar x-axeln, inte en gång, utan exakt en gång.

Vi ska nog lägga till att allt detta gäller under förutsättning att funktionernas definitionsmängder är tillräckligt stora.

Varför anses inte terrasspunkter vara extrempunkter?

Det är bättre att du läser själv om detta med extrempunkter här.

Om de inte är det, kan det alltså innebära att en funktion är strängt växande för alla x, dvs f’(x)>0 för alla x vare sig den har en terrasspunkt eller inte.

Ja en funktion som är strängt växande kan ha en eller flera terrasspunkter.

Funktioner som är växande för alla x dvs. f(x)>_0 kan också i sådana fall ha en terrasspunkt, utöver det att de kan vara konstanta, dvs bara bestå av konstanter. Dessa funktioner får däremot inte innehålla extrempunkter?

Det stämmer.

Okej, så det räcker alltså med det vi kommit fram till. Precis, jag menade f’(x)>0 när jag skrev f(x)>0.

Det jag försökte säga var att eftersom jämnexponentfunktioner inte kan vara växande eller strängt växande för alla x, utan har åtminstone en extrempunkt, så berörs dessa funktioner inte av själva uppgiften. För dessa funktioner gäller det alltså inte att f’(x)>0 för alla x och inte heller f’(x)>_0 för alla x. Stämmer det?

Därmed kan dessa funktioner uteslutas från själva kravet som säger att f(x) är strängt växande för alla x, dvs f’(x)>0 för alla x.

Uddaexponentfunktioner därmed kan vara strängt växande för alla x, dvs. för dessa funktioner kan det gälla att f’(x)>0 för alla x. Dessa funktioner passerar x-axeln exakt en gång, och därför också har exakt en reell lösning för f(x)=0. Kravet är också att definitionsmängden ska vara tillräckligt stor samt att funktionen ska vara kontinuerlig, (vilket en uddaexponentfunktion är).

Kan man säga att alla x även innefattar alla reella x på själva definitionsmängden? Skulle du också kunna förklara vad du menade när du sa att anledningen till att strängt växande uddaexponentfunktioner skär x-axeln bara en gång inte är att jämnexponentfunktioner har åtminstone en extrempunkt?

Yngve skrev:

Du blandar ihop begreppen lite.
Om $f(x)$ är växande för alla x så gäller att $f'(x)\geq0$ för alla x.
Om $f(x)$ är strängt växande för alla x så gäller att $f'(x)>0$ för alla x.
[...]

Här måste jag rätta mig själv. Det som står vid den sista punkten stämmer inte.

En strängt växande funktion kan mycket väl ha en derivata som är lika med 0. T.ex. $f(x)=x^3$ är strängt växande trots att $f'(0)=0$ .

Partykoalan skrev:
Okej, så det räcker alltså med det vi kommit fram till. Precis, jag menade f’(x)>0 när jag skrev f(x)>0.
Det jag försökte säga var att eftersom jämnexponentfunktioner inte kan vara växande eller strängt växande för alla x, utan har åtminstone en extrempunkt, så berörs dessa funktioner inte av själva uppgiften. För dessa funktioner gäller det alltså inte att f’(x)>0 för alla x och inte heller f’(x)>_0 för alla x. Stämmer det?

Ja det stämmer. Om definitionsmängden är tillräckligt stor.

Därmed kan dessa funktioner uteslutas från själva kravet som säger att f(x) är strängt växande för alla x, dvs f’(x)>0 för alla x.

Ja de utesluts av kravet som säger att $f'(x) > 0$ för alla $x$ .

Att $f'(x) > 0$ för alla $x$ innebär att $f(x)$ är strängt växande för alla $x$ , men det omvända gäller inte.

T.ex. är $f(x)=x^3$ strängt växande för alla $x$ , men det gäller inte att $f'(x)>0$ för alla $x$ .

Uddaexponentfunktioner därmed kan vara strängt växande för alla x, dvs. för dessa funktioner kan det gälla att f’(x)>0 för alla x.

Se ovan. Att f(x) är strängt växande är inte synonymt med att f'(x) > 0.

Dessa funktioner passerar x-axeln exakt en gång, och därför också har exakt en reell lösning för f(x)=0. Kravet är också att definitionsmängden ska vara tillräckligt stor samt att funktionen ska vara kontinuerlig, (vilket en uddaexponentfunktion är).

Nej en uddaexponentfunktion är inte nödvändigtvis kontinuerlig.

Ta t.ex. funktionen $f(x)=x^3-1$ då $x<0$ och f(x)=x^3+1$$ då $$x\geq0$$. Den är uddaexponentig, strängt växande men saknar nollställe.

Kan man säga att alla x även innefattar alla reella x på själva definitionsmängden?

Ja, "alla x" betyder alla x i definitionsmängden.

Skulle du också kunna förklara vad du menade när du sa att anledningen till att strängt växande uddaexponentfunktioner skär x-axeln bara en gång inte är att jämnexponentfunktioner har åtminstone en extrempunkt?

Att jämnexponentfunktioner har en specifik egenskap innebär inte att uddaexponentfunktioner måste ha en annan specifik egenskap.

Okej, nu blev jag lite förvirrad. Om f’(x)>_0 så innebär det att en funktion f(x) är strängt växande för alla x eftersom en strängt växande funktion kan mycket väl ha derivatan noll. Har jag uppfattat det rätt?

f’(x)>0 ingår i själva kravet att en funktion ska vara strängt växande men saknar däremot en terrasspunkt. Har jag rätt? Om f’(x)>_0 är strängt växande för alla x, vad är då f’(x)>0?

Du nämnde också att f’(x)>0 innebär att f(x) är strängt växande för alla x, men att det omvända inte gäller. Vad är det omvända?

Du kanske menade att eftersom exempelvis f(x)= x^3 är strängt växande för alla x även om den innehåller en terrasspunkt så för den funktionen gäller det att f’(x)>_0, men inte att att f’(x)>0 just på grund av terrasspunkten som ju har lutningen 0. Har jag uppfattat det rätt?

Partykoalan skrev:
Okej, nu blev jag lite förvirrad. Om f’(x)>_0 så innebär det att en funktion f(x) är strängt växande för alla x eftersom en strängt växande funktion kan mycket väl ha derivatan noll. Har jag uppfattat det rätt?
f’(x)>0 ingår i själva kravet att en funktion ska vara strängt växande men saknar däremot en terrasspunkt. Har jag rätt?

Nej det stämmer inte.

Kravet för att $f(x)$ ska vara växande/strängt växande (respektive avtagande/strängt avtagande) har inte med derivatans tecken att göra utan det handlar istället om hur funktionsvärdena i olika punkter förhåller sig till varandra.

Funktioner som är växande/strängt växande (eller avtagande/strängt avtagande) kallas monotona funktioner.

Läs mer om dem och de villkor som gäller -> här <- och återkom med frågor kring det som känns oklart.

Om f’(x)>_0 är strängt växande för alla x, vad är då f’(x)>0?

Jag förstår inte vad du menar.

Du nämnde också att f’(x)>0 innebär att f(x) är strängt växande för alla x, men att det omvända inte gäller. Vad är det omvända?

Påstående: "Om $f'(x)>0$ för alla $x$ så är $f(x)$ strängt växande för alla $x$ . Detta påstående stämmer.

Det omvända påståendet: "Om $f(x)$ är strängt växande för alla $x$ så är $f'(x)>0$ för alla $x$ . Detta påstående stämmer inte, vilket vi har visat med exemplet $f(x)=x^3$ .

Jämför följande:

Påståendet "Om jag går ut i regnet utan paraply så blir mina kläder blöta" är sant.

Det omvända påståendet: "Om mina kläder är blöta så har jag gått ut i regnet utan paraply" är inte sant. Jag kan ju ha trillat i sjön en solig dag.

-----------

Om du vill kan du istället tänka så här:

Alla funktioner som uppfyller $f'(x)>0$ för alla $x$ är strängt växande för alla $x$ .

Det gäller inte att alla funktioner som är strängt växande för alla $x$ uppfyller $f'(x)>0$ för alla $x$ .

Jämför följande:

Alla pingisbollar är lätta runda saker.

Det gäller inte att alla lätta runda saker är pingisbollar.

Du kanske menade att eftersom exempelvis f(x)= x^3 är strängt växande för alla x även om den innehåller en terrasspunkt så för den funktionen gäller det att f’(x)>_0, men inte att att f’(x)>0 just på grund av terrasspunkten som ju har lutningen 0. Har jag uppfattat det rätt?

Ja det stämmer (förutom att en punkt inte har någon lutning). Funktionen $f(x)=x^3$ är ett bra exempel på en strängt växande funktion som uppfyller $f'(x)\geq0$ men inte uppfyller $f'(x)>0$ .

En funktion är växande om x1< x2 implicerar f(x)1<_f(x)2.
En funktion är avtagande om x1< x2 implicerar f(x)1>_f(x)2.

Detta begriper jag.

En strikt (strängt) monoton funktionär en funktion där olikheterna har ersatts med strikta olikheter. De två typerna kallas då strikt (strängt) växande funktion respektive strikt (strängt) avtagande funktion.

Innebär detta att om x1< x2 så är f(x)1< f(x)2 för strängt växande funktioner samt om x1< x2 så är f(x)1> f(x)2 för strängt avtagande funktioner?

Om inte, vad är då strikta olikheter, och hur skiljer de sig i förhållande till vanliga olikheter?

Ett villkor för att en deriverbar funktion ska vara monoton är att derivatanantingen är större eller lika med noll, eller är mindre eller lika med noll. Detta gäller även för strikt monotona funktioner, så länge som derivatan bara är noll i punkter som är omgivna av punkter där derivatan är strikt större eller mindre än noll.

Okej, så om jag uppfattar det rätt, gäller det för växande funktioner att f’(x)>_0. För avtagande funktioner gäller det omvända, dvs att f’(x)<_0. Samma villkor gäller för strängt växande/ avtagande funktioner sålänge som derivatan är noll i punkter där derivatan är större/ mindre än noll, vilket med andra ord är terrasspunkter, eller hur?

Skillnaden är dock att växande/ avtagande funktioner kan ha derivatan noll överallt, dvs kan vara konstanter medan strängt växande/ avtagande bara kan ha derivatan noll i terrasspunkter, men inte överallt som växande/ avtagande funktioner, just därför att att dessa funktioner är strängt växande/ avtagande för alla x, stämmer det?

Partykoalan skrev:
En funktion är växande om x1< x2 implicerar f(x)1<_f(x)2.
En funktion är avtagande om x1< x2 implicerar f(x)1>_f(x)2.
Detta begriper jag.

Bra

En strikt (strängt) monoton funktionär en funktion där olikheterna har ersatts med strikta olikheter. De två typerna kallas då strikt (strängt) växande funktion respektive strikt (strängt) avtagande funktion.
Innebär detta att om x1< x2 så är f(x)1< f(x)2 för strängt växande funktioner samt om x1< x2 så är f(x)1> f(x)2 för strängt avtagande funktioner?

Ja

Om inte, vad är då strikta olikheter, och hur skiljer de sig i förhållande till vanliga olikheter?
Ett villkor för att en deriverbar funktion ska vara monoton är att derivatanantingen är större eller lika med noll, eller är mindre eller lika med noll. Detta gäller även för strikt monotona funktioner, så länge som derivatan bara är noll i punkter som är omgivna av punkter där derivatan är strikt större eller mindre än noll.
Okej, så om jag uppfattar det rätt, gäller det för växande funktioner att f’(x)>_0. För avtagande funktioner gäller det omvända, dvs att f’(x)<_0. Samma villkor gäller för strängt växande/ avtagande funktioner sålänge som derivatan är noll i punkter där derivatan är större/ mindre än noll, vilket med andra ord är terrasspunkter, eller hur?

Du missade några viktiga ord i den sista meningen. Det ska vara "så länge som derivatan bara är noll i punkter som är omgivna av punkter där derivatan är strikt större eller mindre än noll".

Annars är det rätt, ja.

Skillnaden är dock att växande/ avtagande funktioner kan ha derivatan noll överallt, dvs kan vara konstanter medan strängt växande/ avtagande bara kan ha derivatan noll i terrasspunkter, men inte överallt som växande/ avtagande funktioner, just därför att att dessa funktioner är strängt växande/ avtagande för alla x, stämmer det?

Ja det stämmer.

Nu verkar bitarna falla på plats. Bra!

Okej, nu verkar jag ha klart för mig det vi har diskuterat om. Tack för hjälpen!