Polynomfunktion f

Ditt svar på a-uppgiften är rätt.

Ja, din graf är en av många möjliga grafer till f(x).

Vad är ditt svar på b-uppgiften?

Att det finns 2 nollställen eller Max 3 st

Funktionen $f$ är en polynomfunktion av fjärde graden.

1. Är du med på att den då kan skrivas $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$?
2. Är du med på att värdet på konstanten $e$ beskriver motsvarande grafs höjd ovanför $x$-axeln?
3. Fundera nu på vad som händer med grafen om $e$ ändras.
4. Vad händer med grafen om $e$ ökar?
5. Vad händer med grafen om $e$ minskar?

Om e ökar då kommer antal skärningar med x axeln minska medans om e minskar då kommer antal skärningar med x axeln att öka. 
Men varför kallar du m värdet för e?

Det är konstanttermen i fjärdegradsuttrycket som jag valde att kalla $e$.

Men jag kan kalla den $m$ istället om du vill.

Då är $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+m$

1. Din första skiss är ett bra exempel på en graf med två nollställen. Men vad händer om du då ökar värdet på $m$ lite till? Vart tar grafen vägen?
2. Kan du visa ett exempel med tre nollställen?

om jag ökar värdet på m så kan skärningen vara 0, om jag höjer m värdet en viss aning kan antal skärningspunkter vara 1 och om jag sänker m värdet likt min skiss så får jag 2 skärning 

Ja det stämmer.

Utgå från exemplet med endast ett nollställe. Vad händer om du då ökar värdet på $m$ ännu mer?

Det blir inga skärningar alls med x axeln

OK bra det stämmer.

Vi vet alltså nu att funktionen kan ha 0, 1 eller 2 nollställen.

Du skrev tidigare att den även kunde ha 3 nollställen.

Kan du visa ett exempel på hur en sådan graf skulle se ut?

Ksk så här 

Men nu har du ju ändrat form på kurvan. Den uppfyller inte alls villkoren som givits i uppgiften. Så den är inte relevant för uppgiften.

Utgå istället från din ursprungliga kurva, den var bra.

Förflytta den uppåt (ökande $m$) och neråt (minskande $m$).

Kan du göra så att den har 3 nollställen?

• Om ja, visa!
• Om nej, varför kan du inte det?

Jag tror inte att det går att göra så att kurvan får tre extrempunkter för det finns en terasspunkt i grafen

Det stämmer, men orsaken är inte att det finns en terrasspunkt utan att det endast finns ett område där derivatan är negativ och att den överallt annars är större än eller lika med 0.

Det betyder att grafen endast har en "nerförsbacke", dvs att den inte vänder neråt igen när den väl har börjat klättra uppåt.

Jag förstår inte vad du menar (hänger inte med på det du skrev)

När grafen väl har passerat minpunkten vid $x = -1$ och vänt uppåt så vänder den aldrig ner igen eftersom $f'(x)\geq0$ då $x>-1$.

Ja det hänger jag med på

Det betyder att när grafen väl har passerat x-axeln på väg uppåt så kommer den aldrig att passera x-axeln på väg neråt igen.

Okej så av den anledning kommer grafen aldrig att skära x axeln 3ggr

Ja.

Jämför med en andragradskurva. När den väl har vänt vid vertex så vänder den inte igen.

Det är anledningen till att en andragradskurva aldrig kan skära x-axeln mer än 2 gånger.

Detta kan konstaterats mha en teckentabell 

Det viktigaste är att du förstår varför.

Hur vet man att man förstår?

Vi kan kolla om du förstår. Kan du svara på följande frågor?

Vilka möjliga alternativ för antalet nollställen finns det för följande funktioner (för alla funktioner gäller att $a\neq0$)?

1. en förstagradsfunktion $f(x)=ax+b$
2. en andragradsfunktion $f(x)=ax^2+bx+c$
3. en tredjegradsfunktion $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
4. en fjärdegradsfunktion $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
5. en femtegradsfunktion $f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+g$
6. en sjättegradsfunktion $f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+gx+h$

1. En nollställe 

2.  2 eller 1 

3. 3 eller 2 

4. 4 eller 3

5. 5 eller 4

osv

Förlåt, jag var otydlig.

Jag menar hur många reella nollställen är möjliga för respektive funktion?

Jag har svarat på det ovan

OK, vi tar ditt svar på fråga 2 som exempel. Hur många reella nollställen har funktionen $f(x)=x^2+1$

Inga nollställen alls

OK, så svaret på fråga 2 är alltså 0, 1 eller 2.

Eller hur?

Hur ska man göra för att undvika sån här slarvfel 

Rita så många olika varianer på grafen du kan komma på. Fundera på vad som händer när du flyttar dessa grafer upp/ner, dvs vad som händer när värdet på konstanttermen ökar/minskar.

Vi fortsätter med fråga 3.

Vad tror du om $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$,

Rita, tänk och visa dina försök.