Polynomfunktion

Nej, du har rätt, om $f$ är strängt växande kan den endast skära x-axeln en gång eftersom den måste vända (ha extrempunkter) om den ska kunna skära x-axeln igen och det gör den inte om den är strängt växande. så f(x) har antingen 0 eller 1 reell lösning. ett exempel på när den har 0 reella lösningar är $e^x$ där det den har en asymptot i $y=0$.

Du är inte ute och cyklar, men det blir inte helt rätt i slutet. Du kommer inte att kunna hitta vilken form funktionen har – det vet vi för lite om den för att kunna göra – men vi vet att det är ett polynom, samt att polynomets derivata är strikt större än noll. För vilka tal är polynomfunktioner definierade? Vilken derivata har formeln för ett polynom? :)

Polynom består av positiva heltalsexponenter samt reella koefficienter. Sen tror jag också att polynom är definierade för alla reella x. Hur får man fram derivatan för ett polynom på allmän form?

Det stämmer utmärkt!

Den allmänna formen av ett polynom (dvs. den formel som alla polynom följer) är $p\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$. Vad får du om du deriverar den formeln (med avseende på x, inte något a)? :)

Jag skulle titta på polynomets gradtal. Är det möjligt för ett polynom med jämt gradtal att ha en derivata som är nollskild överalt? Om inte, så måste polynomet vara av udda grad.

Om ett polynom av udda grad uppfyller att derivatan är nollskild överallt, så kan det som mest ha ett nollställe. Måste varje sådant polynom ha ett nollställa alls? Ja, i så fall vet vi att polynomet har precis ett nollställe.

p'(x) = na_nx^n-1 + (n-1)a_n-1x^n-2 + . . . + a₁

theg0d321 skrev:

p'(x) = na_nx^n-1 + (n-1)a_n-1x^n-2 + . . . + a₁

Helt rätt! Som Patenteramera säger, undersök nu vilka gradtal som är möjliga på ett polynom vars derivata är strikt positiv. :)

Smutstvätt skrev:

theg0d321 skrev:

p'(x) = na_nx^n-1 + (n-1)a_n-1x^n-2 + . . . + a₁

Helt rätt! Som Patenteramera säger, undersök nu vilka gradtal som är möjliga på ett polynom vars derivata är strikt positiv. :)

Innebär det att jag ska lösa olikheten p'(x) > 0 

na_nx^n-1 + (n-1)a_n-1x^n-2 + . . . + a1 > 0    

Isåfall har jag verkligen ingen aning om hur jag ska börja

Nej, det går inte, eftersom vi har för många obekanta. Tanken är snarare att undersöka om polynom av olika gradtal kan ha en enbart positiv derivata. Hur är det med ett andragradspolynom? Tredjegradspolynom? Fjärde? Femte? :)

Ett andragradspolynom kan inte enbart ha positiv derivata eftersom den har en extrempunkt

Tredjegrad: Jag skrev in f(x) = x³+x i geogebra och så här såg grafen ut:

Fjärdegraden: T.ex. f(x) = x⁴+x

Femtegraden: T.ex. x⁵+x

Jag undersökte några fler fall av f(x) = xⁿ + kx och kom fram till att f'(x) > 0 då n är ett udda tal.

Titta tex på fallet p(x) = x² + x. Derivera. p’(x) = 2x + 1. Är p’(x) större än noll för alla x? Nej, uppenbarligen inte.

Kan vi generalisera denna slutsats till alla andragradspolynom?

PATENTERAMERA skrev:

Titta tex på fallet p(x) = x² + x. Derivera. p’(x) = 2x + 1. Är p’(x) större än noll för alla x? Nej, uppenbarligen inte.

Kan vi generalisera denna slutsats till alla andragradspolynom?

Ja det finns ingen andragradsfunktion som enbart är växande

Bra, vad gäller för tredjegradspolynom?

Tex följande polynom:

p(x) = x³ + x

q(x) = x³.

p(x) = x³+x har derivatan:

p'(x) = 3x²+1

Test:

p'(-1) = 3*(-1)²+1 = 4 > 0

p'(0) = 3*0²+1 = 1 > 0

p'(1) = 3*1²+1 = 4 >0

komplexa tal t.ex. i

p'(i) = 3*(i)²+1 = 3*(-1)+1 = -3 + 1 = -2 < 0

Slutsats: p'(x) > 0 för alla reella x-värden

Eftersom x i kvadrat har sitt minsta värde då x = 0 så måste p´(x) även ha sitt minsta värde då x = 0, vilket blir 1 som är större än noll.

Vad gäller för polynomet q(x)?

q(x) = x³

q'(x) = 3x²

q'(0) = 3*0² = 0

q(x) är alltså inte växande för alla x

Precis. Så när det gäller tredjegradspolynom så finns det vissa som uppfyller att derivatan är större än noll för alla x och andra som inte uppfyller det.

Dessutom så måste ett tredjegradspolynom (med reella koefficienter) alltid ha åtminstone ett reellt nollställe. Eller hur?

Det betyder att om vi har ett tredjegradspolynom vars derivata alltid är större än noll så är polynomet strikt växande och har därför precis ett reellt nollställe.

Vad gäller för fjärdegradspolynom?

Dracaena skrev:

Nej, du har rätt, om $f$ är strängt växande kan den endast skära x-axeln en gång eftersom den måste vända (ha extrempunkter) om den ska kunna skära x-axeln igen och det gör den inte om den är strängt växande. så f(x) har antingen 0 eller 1 reell lösning. ett exempel på när den har 0 reella lösningar är $e^x$ där det den har en asymptot i $y=0$.

En fråga på det:
Finns det någon strängt växande polynomfunktion som inte skär x-axeln?
Om vi alltså håller oss till polynom med ändligt gradtal (vilket väl är det brukliga).
Se Smutstvätts inlägg.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Transcendent_funktion

Arktos skrev:

Dracaena skrev:

Nej, du har rätt, om $f$ är strängt växande kan den endast skära x-axeln en gång eftersom den måste vända (ha extrempunkter) om den ska kunna skära x-axeln igen och det gör den inte om den är strängt växande. så f(x) har antingen 0 eller 1 reell lösning. ett exempel på när den har 0 reella lösningar är $e^x$ där det den har en asymptot i $y=0$.

En fråga på det:
Finns det någon strängt växande polynomfunktion som inte skär x-axeln?
Om vi alltså håller oss till polynom med ändligt gradtal (vilket väl är det brukliga).
Se Smutstvätts inlägg.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Transcendent_funktion

Jag missade att det handlade om polynom så att blanda in exponentialfunktioner är lite meningslöst. Men tur nog lurade inte jag er andra med min felaktiga tolkning av uppgiften! 

Jag uppfattade uppgiften som att det behandlade strikt monotona funktioner överlag.