Polynomfunktion

du tänker i rätt banor men $e^x$ är en exponentialfunktion men frågan vill ha ett polynom.

Först måste du veta vad en polynomfunktion är. Se här

Den funktion du föreslår är inte en polynomfunktion utan en exponentialfunktion.

Villkoret f'(x)>0 för alla x - Vad säger den dig om lutningen för grafen till funktionen?

Nej skit i det jag sa, din idé fungerar utmärkt, $e^x$ precis som du säger skär x-axeln en gång, varför? Vad betyder det att $f'(x) >0$?


EDIT: Vet inte vad jag tänkte.

Henning skrev:

Först måste du veta vad en polynomfunktion är. Se här

Den funktion du föreslår är inte en polynomfunktion utan en exponentialfunktion.

Villkoret f'(x)>0 för alla x - Vad säger den dig om lutningen för grafen till funktionen?

Okej det ska alltså inte vara e^x. Derivatan för funktionen f ska vara större än 0 alltså positivt 

Du behöver inte komma på ett polynom, om $f'(x)>0$ för alla x är den strängt växande. Hur många gånger kan en funktion som är strängt växande skära x-axeln?

Vad säger det dig om hur grafen lutar?

Hej! 

Kolla gärna vad en polynomekvation är, lite snabbt så är det

"Ett polynom är ett matematiskt uttryck bestående av icke-negativa heltalspotenser av variabler och konstanter kombinerade genom enbart addition, subtraktion och multiplikation. Uttryckets högsta heltalspotens är polynomets gradtal. Exempelvis är

 x^{2}-4x+5" (Källa: Wikipedia).  

Då jag läste matte 3 förra terminen använde mig av geogebra för att kunna experimentera med funktioner mm, för att förstå bättre, gör gärna det. 

Till svar på frågan, jag brukar tänka så här: En funktion som har positivt lutning hela tiden, t.e.x en positivt rät linje, en tredjegradsfunktion, som har positivt lutning hela tiden. (alltså derivatan är större än noll för alla x, som frågan råder). (Alla andra funktioner utesluts eftersom det är en polynom).   Hur många nollställen har dem? Precis, bara en. Eftersom grafen kan inte gå upp och ned osv. 

Testa gärna i geogebra. Annars fråga bara igen!

Hur kan en tredjegradsfunktion ha positiv derivata för alla x?

Katarina149 skrev:

Hur kan en tredjegradsfunktion ha positiv derivata för alla x?

Bra fråga - det tror jag inte den kan utan den blir =0 för något x-värde
Tror jag. Någon som har annan synpunkt?

$x^3$ är sträng växande överallt trots att den har en terasspunkt eftersom att $x^3$ uppfyller kravet att $x_0<x_1$ och då gäller som följd att $f(x_0)<f(x_1)$.

Notera även att $f(x)$ är växande $\forall x$ då $f'(x) \geq 0$ men strängt växande omm $f'(x)>0$

Katarina149 skrev:

Hur kan en tredjegradsfunktion ha positiv derivata för alla x?

Man kan tänka sig som Dracaena skrev ovan. Men också att en tredjegradare som  t.e.x y=x^(3)+x har inte någon terasspunkt.  

(https://www.geogebra.org/classic?lang=sv :) ) 

Dracaena skrev:

$x^3$ är sträng växande överallt trots att den har en terasspunkt eftersom att $x^3$ uppfyller kravet att $x_0<x_1$ och då gäller som följd att $f(x_0)<f(x_1)$.

Notera även att $f(x)$ är växande $\forall x$ då $f'(x) \geq 0$ men strängt växande omm $f'(x)>0$

Menar du att $f\left(x\right)=x^3$är växande även för x=0 trots att derivatan då =0 ?

y(x) = x³+x har positiv derivata för alla värden på x.

Henning skrev:

Dracaena skrev:

$x^3$ är sträng växande överallt trots att den har en terasspunkt eftersom att $x^3$ uppfyller kravet att $x_0<x_1$ och då gäller som följd att $f(x_0)<f(x_1)$.

Notera även att $f(x)$ är växande $\forall x$ då $f'(x) \geq 0$ men strängt växande omm $f'(x)>0$

Menar du att $f\left(x\right)=x^3$är växande även för x=0 trots att derivatan då =0 ?

Jag tror att han skrev kurvan som helhet. Inte exakt den punkten.  

Smaragdalena skrev:

y(x) = x³+x har positiv derivata för alla värden på x.

Okej - visst.
Nyttig insikt för mig

Henning skrev:

Dracaena skrev:

$x^3$ är sträng växande överallt trots att den har en terasspunkt eftersom att $x^3$ uppfyller kravet att $x_0<x_1$ och då gäller som följd att $f(x_0)<f(x_1)$.

Notera även att $f(x)$ är växande $\forall x$ då $f'(x) \geq 0$ men strängt växande omm $f'(x)>0$

Menar du att $f\left(x\right)=x^3$är växande även för x=0 trots att derivatan då =0 ?

Som sagt, definitionen för strängt växande är att: $\forall x_1,x_2 \in (a,b): x_1< x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)$ och detta villkoret är uppfyllt för $y=x^3$.

Ja men isåfall har funktionen x^3 endast en skärning med x axeln . Men är det okej att anta att polynomfunktionen är x^3?

Varför har $x^3$ endast en skärning med x-axeln? Kan du ge en motivering varför en funktion som exempelvis $x^3$ eller som JackTheRipper och Smaragdalena föreslog ovan, $x^3+x$ endast kan skära x-axeln en enda gång?

Villkoret i uppgiften uppfylls för en polynomfunktion av 1-a graden (rät linje) och åtminstone för vissa av 3-e graden
Och alla dessa skär x-axeln endast en gång.

Alla polynomfunktioner som är strängt växande skär bara x-axeln en gång, som Dracaena antyder ovan.

Antagligen gäller det om alla polynomtermer är udda och dess koefficienter är positiva. Vilket jag inte kan bevisa. Man vet att om polynomtermerna är jämna, och nån koefficient är negativ, så är den icke strängt växande.

Alltså har jag rätt antagande