Polynomfaktorisering

Testa med några enkla värden på x och se om det blir 0 när man sätter in det. Börja med att pröva 0, 1, -1, 2, -2 och hoppas att något av värdena stämmer. Sedan vet du en faktor i polynomet.

ddcage skrev:

Någon som kan visa hur man går till väga för att faktorisera uppgift a) här? Jag missade genomgången på detta så om någon hade kunnat ge en lätt övergång på hur man löser en sån här uppgift hade det uppskattats stort.

 $$\begin{gathered} x^3+2x^2-x-2 \\ {x}^2·(x+2) -1·(x+2) \\ (x+2)(x^2-1) \Rightarrow (x+2)(x+1)(x-1) \end{gathered}$$ 
I sista steget så skriver du om uttrycket $x^{2}-1$ med konjugatregeln baklänges. 

Tack så mycket Korra

Smaragdalena skrev:

Testa med några enkla värden på x och se om det blir 0 när man sätter in det. Börja med att pröva 0, 1, -1, 2, -2 och hoppas att något av värdena stämmer. Sedan vet du en faktor i polynomet.

Kan du vara snäll och faktorisera på det sättet som du menar, vill gärna se hur det blir. Tack. 

ddcage skrev:
Tack så mycket Korra

Varsågod, hej och välkommen hit förresten. 

Korra skrev:

Smaragdalena skrev:

Testa med några enkla värden på x och se om det blir 0 när man sätter in det. Börja med att pröva 0, 1, -1, 2, -2 och hoppas att något av värdena stämmer. Sedan vet du en faktor i polynomet.

Kan du vara snäll och faktorisera på det sättet som du menar, vill gärna se hur det blir. Tack. 

 Det finns något som heter faktorsatsen som säger att om man hittar ett tal $x=k$ som gör att polynomet blir noll kommer $(x-k)$ att vara en faktor till polynomet.

Efter lite gissande hittar vi att $x=-1$ är ett nollställe och då kommer $(x-(-1))=(x+1)$ att vara en faktor. Eftersom vi vet att $(x+1)$ ska vara en faktor kan vi dela polynomet med $x+1$ (polynomdivision) får att få fram den andra faktorn:

$x^3+2x^2-x-2=(x+1)\cdot$ $\underbrace{\dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x+1}}_{\text{polynomdivision}}=$ $(x+1)(x^2+x-2)$

Därifrån kan man göra samma sak med andragradsuttrycket och få:

$x^3+2x^2-x-2=(x+1)(x-1)(x+2)$

Hur får du $(x+1)(x^2+x-2)$ efter din division ?

Här är en länk till Wikipedia-artikeln om polynomdivision.

Ja, det gäller att bestämma polynomkvoten:

$\dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x+1}$

Detta brukar jag göra med en algoritm som heter liggande stolen. Så här blir uträkningen:

Metoden går ut på att man dividerar termen av högst grad i täljaren $x^3$ och termen av högst grad i nämnaren $x$ och får $x^2$, vilket blir första termen i kvoten. Sedan subtraherar man kvoten med produkten av kvottermen och nämnaren $-x^2(x+1)=-x^3-x^2$ så att man får resten $x^2-x$.

Sedan upprepar man detta med $x^2-x$ så att man får nästa term $x$ i kvoten, och så subtraherar man med produkten av kvottermen och nämnaren $-x(x+1)=-x^2-x$ så att man får ytterligare en rest. Proceduren upprepas tills resten är noll (I detta fall blir resten noll till slut, men det är inte alla divisioner som går jämnt upp). Då kan man utläsa kvoten i raden högst upp.

Detta är ganska krångligt att förstå om det är första gången man ser det, så kolla gärna på någon instruktionsfilm och sätt dig ned och utför några polynomdivisioner.

AlvinB skrev:

Ja, det gäller att bestämma polynomkvoten:

$\dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x+1}$

Detta brukar jag göra med en algoritm som heter liggande stolen. Så här blir uträkningen:

Metoden går ut på att man dividerar termen av högst grad i täljaren $x^3$ och termen av högst grad i nämnaren $x$ och får $x^2$, vilket blir första termen i kvoten. Sedan subtraherar man kvoten med produkten av kvottermen och nämnaren $-x^2(x+1)=-x^3-x^2$ så att man får resten $x^2-x$.

Sedan upprepar man detta med $x^2-x$ så att man får nästa term $x$ i kvoten, och så subtraherar man med produkten av kvottermen och nämnaren $-x(x+1)=-x^2-x$ så att man får ytterligare en rest. Proceduren upprepas tills resten är noll (I detta fall blir resten noll till slut, men det är inte alla divisioner som går jämnt upp). Då kan man utläsa kvoten i raden högst upp.

Detta är ganska krångligt att förstå om det är första gången man ser det, så kolla gärna på någon instruktionsfilm och sätt dig ned och utför några polynomdivisioner.

 Tack så mycket.