Polynomet p(x)
Problem: Låt p(x) vara ett polynom & antag att p(5) = 0 & p(1) = 4. Vilka av följande påståenden är sanna?
Såhär resonerar jag hittills och skulle gärna vilja bolla lite med några om mina resonemang & hur jag ska komma vidare:)
Info om p(x)
p(5)=0
x=5 en rot dvs en lösning till ekvationen p(x)=0
(x-5)= måste vara en faktor i p(x)
p(1)=4
x=1 ger ekvationvärde p(x)=4
Saknad info: gradtal & typ av polynom
Generella formler
Linjär formel:ax+b = 0
a, b = konstanter
a ≠ 0
Andragradsekvation
Formel: ax² + bx + c = 0
a,b,c = konstanter
a ≠ 0
Tredjegradekvation
Formel: ax³ +bx² +cx+d = 0
a,b,c,d = konstanter
a ≠ 0
OM p(x) är av 1:a grad
p(x)= linjärt polynom: ax+b = 0
p(5)=0 & p(1)=4
Ekvationssystem
1. 5a+b = 0
2. 1a+b=4
Enligt 1: a=4-b & sätts in i ekvation 2
5(4-b)+b=4
20-5b+b=4
20-4b=4
16-4b=0
16=4b
b=4/16=¼
Ekvation 1: b=¼ ger
5a+1/4= 0
5a=-¼
a=-1/4•5=-5/4
p(x)= -5/4x+1/4
Men eftersom vi enbart har 2 ekvationer med både OM p(x) är av 2:a eller högre grads polynom kan det inte lösas ut eftersom det är fler variablar än antal ekvationer.
Utifrån påståendena
Påstående A: tänker jag är sant eftersom vi vet från info att p(5)=0 dvs en lösning till ekvationen p(x)=0
Påstående B & C: vet jag inte hur jag ska resonera.
Påstående D: tänker jag är FALSKT eftersom då p(5)=0 innebär att (x-5) är en faktor i p(x) enligt faktorsatsen. Vid polynomdivision blir då r(x)=0
Påstånde E: tänker jag är SANT om som sagt p(x) är en 1:a gradspolynom. För om det är 1:a grad kan det beskrivas som x, y axel i kordinat system.
Påstående F: tänker jag är FALSKT eftersom om enbart 1 lösning finns vilket vi med säkerhet vet eftersom p(5)=0. Så är ju endast 1 lösning som just är x=5. Och INTE x=-5. Men lite osäker här:)
Hej.
Vi tar en i taget.
Påstående A: Du har helt rätt i att A är sant. Att p(5) = 0 betyder just det som står I påstående A.
Påstående B: Använd det du skrev om att (x-5) måste vara en faktor i p(x).
Tack så mycket Yngve:) Tyckte också det blev så mycket i ett!
vad bra att du håller med mig gällande A.
För b tänker jag att om de menar på att q1(x) är ett generellt polynom så innebär skrivsättet då att p(x)= q1•(x-5) skulle p(x) även innehålla polynomet q1. Dvs vara delbar med q1. Vi vet ju att (x-5) är en faktor. Men man kan väl inte säga med säkerhet att vi vet att q1 ingår.
Om b stämmer hade det i alla fall innebärt att p(x) INTE är linjärt. Utan av högra grad beroende på graden av q(x).
ex. Om q(x) är x1= första grad hade p(x) varit av andragrad. Då x(x-5)=x2-5x
Enligt det resonmanget borde b stämma. Eftersom det även inte ger någon r(x) eftersom ingen konstant finns. Enligt formeln för polynom divitotion p(x)=q(x)•g(x)+ r(x) där g(x) i detta fall är x-5.
Maddefoppa skrev:Enligt det resonmanget borde b stämma. Eftersom det även inte ger någon r(x) eftersom ingen konstant finns. Enligt formeln för polynom divitotion p(x)=q(x)•g(x)+ r(x) där g(x) i detta fall är x-5.
Bra resonerat. Det stämmer.
Tack så mycket:)
Men isånafall borde ju även C stämma då vi vet att p(1)=4. Vilket för formeln: p(x)=q(x)•g(x)+ r(x) ger r(x)= 4 och g(x)= (x-1)
Om även C stämmer hur ska jag komma vidare med E, F & G?
För C isånafall tänker jag
q₂(x)=generellt polynom
q₂(x)= p(x)= q₂•(x-1) skulle p(x) även innehålla polynomet q₂. Utöver faktor (x-1)
p(x)= delbart med q₂(x-1)=en faktor. Ej säkert säga q₂ ingår.
C stämmer= innebära att p(x) INTE är linjärt. Utan av högre grad beroende på graden av q(x)
Enligt formeln för polynomdivision p(x)=q₂(x)•g(x)+ r(x)
g(x)= x-1.
r(x)=4
Tror jag också lyckats resonera att som sagt D är solklart falskt pga ovan påstående.
E: sant eftersom de skriver MÖJLIG vilket det är eftersom vi INTE vet gradtal på p(x)
F: tänker jag fortfarande är falskt & att det RÄTTA är enbart p(x)= x-5 eftersom (x-5) är faktorn.
