Polynomet

Var kommer i ifrån i uttrycket för k? K skall vara reelt tal.

Däremot k=0 ger z rent imaginärt.

Analys skrev:

Var kommer i ifrån i uttrycket för k? K skall vara reelt tal.

jag har delat $z^4+k{z}^3+7z+2kz+10$ med $z^2+2$ så fick fram $z^2+kz+5$

Det stämmer säkert, det var sista delen jag reagerade på:

k=+- roten(20) i

Var kommer i ifrån i uttrycket för k? 

Analys skrev:

Det stämmer säkert, det var sista delen jag reagerade på:

k=+- roten(20) i

Var kommer i ifrån i uttrycket för k? 

Det var $k=\pm \sqrt{-20}$så jag gjorde istället $\pm \sqrt{20}i$

K skall vara reelt enligt uppgiften.

Analys skrev:

K skall vara reelt enligt uppgiften.

jaha så svaret måste vara $k=\pm \sqrt{20}$ visst?

Nej, z får inte vara reellt. Antingen k=0 eller hela z=0 tror jag är lösningen.

Analys skrev:

Nej, z får inte vara reellt. Antingen k=0 eller hela z=0 tror jag är lösningen.

kan du visa mig hur kom du fram till att antingen k=0 eller hela z=0?

Faktoriseringen är korrekt.

Vi ser då att lösningarna kan skrivas

• $z_1=\sqrt{-2}=i\sqrt{2}$
• $z_2=-\sqrt{-2}=-i\sqrt{2}$
• $z_3=-\frac{k}{2}+\sqrt{\frac{k^2-20}{4}}$
• $z_4=-\frac{k}{2}-\sqrt{\frac{k^2-20}{4}}$

Vi vill nu hitta de reella värden på $k$ som gör att ingen av dessa lösningar är reell, dvs att alla lösningar har en imaginärdel som är skild från 0.

De första två lösningarna är rent imaginära, så de är redan klara.

För att de andra två lösningarna ska ha imaginärdelar måste det gälla att diskriminanten $\frac{k^2-20}{4}$ är mindre än 0.

Blev det klarare då?

Yngve skrev:

Faktoriseringen är korrekt.

Vi ser då att lösningarna kan skrivas

• $z_1=\sqrt{-2}=i\sqrt{2}$
• $z_2=-\sqrt{-2}=-i\sqrt{2}$
• $z_3=-\frac{k}{2}+\sqrt{\frac{k^2-20}{4}}$
• $z_4=-\frac{k}{2}-\sqrt{\frac{k^2-20}{4}}$

Vi vill nu hitta de reella värden på $k$ som gör att ingen av dessa lösningar är reell, dvs att alla lösningar har en imaginärdel som är skild från 0.

De första två lösningarna är rent imaginära, så de är redan klara.

För att de andra två lösningarna ska ha imaginärdelar måste det gälla att diskriminanten $\frac{k^2-20}{4}$ är mindre än 0.

Blev det klarare då?

okej, vi behöver veta värden på k så att $$\begin{gathered} \frac{k^2-20}{4}<0 \\ {k}^2-20<0 \\ {k}^2<20 \\ k <\sqrt{20} \end{gathered}$$

Allt är rätt förutom sista raden.

Yngve skrev:

Allt är rätt förutom sista raden.

sista raden måste vara $k=\pm \sqrt{20}$ ?

Plusminus är rätt, men inte likhetstecknet.

Vi byter ut k mot x en liten stund så blir det nog enklare att göra sig en bild av hur lösningen ser ut.

Om du vill lösa olikheten x² < 20 så kan du rita de två graferna y = x² (parabel) och y = 20 (horisontell linje).

Olikhetens lösning är alla de värden på x för vilka parabeln ligger under den horisontella linjen, eller hur?

Yngve skrev:

Plusminus är rätt, men inte likhetstecknet.

Vi byter ut k mot x en liten stund så blir det nog enklare att göra sig en bild av hur lösningen ser ut.

Om du vill lösa olikheten x² < 20 så kan du rita de två graferna y = x² (parabel) och y = 20 (horisontell linje).

Olikhetens lösning är alla de värden på x för vilka parabeln ligger under den horisontella linjen, eller hur?

juste. slutligen kan man svar på frågan genom att säga att de reella värde på konstanten k är $k <\sqrt{20} och k <-\sqrt{20}$

Den första är rätt men inte den andra.

Jag tror att du bara råkat skriva fel?

Om inte, titta på din skiss igen och

1. Markera det/de intervall på x-axeln för vilka olikheten är uppfylld.
2. Visa din skiss här.

Yngve skrev:

Den första är rätt men inte den andra.

Jag tror att du bara råkat skriva fel?

Om inte, titta på din skiss igen och

1. Markera det/de intervall på x-axeln för vilka olikheten är uppfylld.
2. Visa din skiss här.

så $-\sqrt{20}< k <\sqrt{20}$

Ja, nu är det rätt.

Det viktiga här är om du hängde med på hur uppgiftslydelsen ska tolkas och hur det leder fram till att diskriminanten ska vara mindre än 0?

Yngve skrev:

Ja, nu är det rätt.

Det viktiga här är om du hängde med på hur uppgiftslydelsen ska tolkas och hur det leder fram till att diskriminanten ska vara mindre än 0?

ja, eftersom vi vill ha imaginärdelar så därför måste diskriminanten vara mindre än 0

OK bra.

Aha, jag har läst ” saknar reella rötter.” som att lösningen enbart skall ha imaginära rötter, men så klart, komplexa rötter är ju inte heller reella.

Analys skrev:

Aha, jag har läst ” saknar reella rötter.” som att lösningen enbart skall ha imaginära rötter, 

Ja, i så fall skulle svaret vara k = 0 (men inte z = 0).

Stämmer, jag tänkte fel där.