Polynomekvationer av högre grad

Så som jag har förstått det, har polynomet konjugerande par då koefficienten 2 finns med i ekvationen. Stämmer det?

Vad menar du med detta? Menar du att konugatet till $1+i$ är en rot eftersom 2 förekommer i ekvationen? isf är det inte alls sant. Utveckla gärna eftersom detta är en viktig del att kunna.

Dracaena skrev:

Så som jag har förstått det, har polynomet konjugerande par då koefficienten 2 finns med i ekvationen. Stämmer det?

Vad menar du med detta? Menar du att konugatet till $1+i$ är en rot eftersom 2 förekommer i ekvationen? isf är det inte alls sant. Utveckla gärna eftersom detta är en viktig del att kunna.

Tack för att du svarade! Jag har läst mig fram till att "om polynomet har reella koefficienter så vet man att alla komplexa rötter kommer i konjugerande par". Hur jag tolkar det är att för det finns reella koefficienter som i 2z^3 och 2z, får en kända roten ett konjugat. Stämmer det, om inte, kan du förklara varför det finns ett konjugat? 

Precis, den förklaringen köper jag. Om du vill veta precis varför det är så har du ett bevis här.

z = 1 + i, och z = 1 - i => (z-(1+i)) och (z-(1-i)) . Varför skriver man såhär?

Om du löser ekvationen $x^2-1=0$ så fås $x_1=1, x_2=-1$, på faktorform skrivs det som $(x-x_1)(x-x_2)$ och det spelar ingen som helst roll om $x_1, x_2$ är komplexa eller reella. Att endast skriva $x_1x_2$ hjälper inte dig ett dugg.

Varför ska vi då skriva på faktormform? Därför att om vi har ett polynom $p(z)$ med ett nollställe x=1, så betyder det att $p(z)$ kan skrivas på formen $(x-1)\cdot(x-x_1)\cdot....\cdot(x-x_n)$, dvs att $p(z)$ delas av den faktorn. Detta hjälper oss därför att du nu kan multiplicera ihop två av de kända rötterna och utföra polynomdivision för att få ut en adragradare som du sedan kan lösa för de två sista faktorerna.

Dracaena skrev:

Precis, den förklaringen köper jag. Om du vill veta precis varför det är så har du ett bevis här.

z = 1 + i, och z = 1 - i => (z-(1+i)) och (z-(1-i)) . Varför skriver man såhär?

Om du löser ekvationen $x^2-1=0$ så fås $x_1=1, x_2=-1$, på faktorform skrivs det som $(x-x_1)(x-x_2)$ och det spelar ingen som helst roll om $x_1, x_2$ är komplexa eller reella. Att endast skriva $x_1x_2$ hjälper inte dig ett dugg.

Varför ska vi då skriva på faktormform? Därför att om vi har ett polynom $p(z)$ med ett nollställe x=1, så betyder det att $p(z)$ kan skrivas på formen $(x-1)\cdot(x-x_1)\cdot....\cdot(x-x_n)$, dvs att $p(z)$ delas av den faktorn. Detta hjälper oss därför att du nu kan multiplicera ihop två av de kända rötterna och utföra polynomdivision för att få ut en adragradare som du sedan kan lösa för de två sista faktorerna.

Tyvärr har ganska svårt att förstå din förklaring. Menar du att (z-(1+i)) och (z-(1-i)) är i faktorform? 
Ska jag tänka att tex 1+i = a och du har skrivit det i (x-a)? Kallas det här (x-a) för faktorform?

Jag tror jag tycker det här blir mycket svårare i mitt huvud för att nu använder vi z och jag tänker inte att 1-i är nummer/ konstant.

Tyvärr har ganska svårt att förstå din förklaring. Menar du att (z-(1+i)) och (z-(1-i)) är i faktorform? 

Det är två faktorer, ja.

$p(z)=z^4-2z^3+z^2+2z-2=(z-(1+i))(z-(1-i))(z-z_3)(z-z_4)$, om du utför poldiv så kommer du ju utföra:

$\dfrac{p(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}$ där $z_1=1+i,z_2=1-i$. 

Är du med?

Okej!
Så när jag stöter på ett liknande problem (där man utför poldiv) så ska jag tänka;
1. Har den några reella koeffiencter? Då ska jag skriva till ett konjugat till min rot.
2. Konjugaterna multiplicerat med varandra, som delar min ekvation?

Men i exemplet, $x^3-2x^2-5x+6=0$ i en uppgift skulle man gissa en rot. Jag gissade med x=1, som var rätt. Sedan utförde jag bara en poldiv med den, utan konjugatet till den. x=-1 är inte en lösning till uppgiften och därav så vet jag att jag skulle få fel, men hur kan jag veta att 1-i är en lösning i den andra uppgiften (förutom att pröva)? Måste jag tänka vid sådana problem att jag testar också konjugat och ser om det passar, om inte, tar jag inte med det, men om det passar gör jag (x-x1)(x-x2)?  

1. Vilken grad är polynomet samt är koefficenterna reella? Forsätt till #2,3 om grad $\geq$ 3.
2. Om given rot är komplex så är konjugatet en rot av anledning #1. Utför poldiv.
3. Ingen rot given? Gissa (0,1,-1,2,-2). Om de är en rot, utför poldiv.

Dracaena skrev:

1. Vilken grad är polynomet samt är koefficenterna reella? Forsätt till #2,3 om grad $\geq$ 3.
2. Om given rot är komplex så är konjugatet en rot av anledning #1. Utför poldiv.
3. Ingen rot given? Gissa (0,1,-1,2,-2). Om de är en rot, utför poldiv.

Okej, vad händer om det är en andra gradare?

Säger du också att om roten är reell, ska man testa om -(x) är en lösning?