8 svar
1167 visningar
DrCheng behöver inte mer hjälp
DrCheng 83 – Fd. Medlem
Postad: 17 jul 2017 17:37 Redigerad: 17 jul 2017 17:37

Polynomekvationer, andragradsekvationer Matematik 5000 uppgift 4412 B)

Hej!

Har jobbat på ett tal nu i en timme och håller på att bli galen, har ni möjlighet att kika på detta?

4412 Lös ekvationen på två olika sätt och svara på formen a+bi, b) z^2=-4i

Löser först m.h.a De Moivres formel:

z^2=4; IzI=2; 2v=3pi/2+n*2pi; tar reda på vinklarna och skriver ut på polär form och skriver om på a+bi.

Men nu skall detta även göras med hjälp av en andragradsekvation.

z^2=-4i

z^2=(a+bi)^2

a^2-b^2+2iab=-4i

a^2-b^2=0

2ab=-4

OSV... 

 

Svaret ska vara (2^0,5-2^0,5i) samt (-2^0,5+2^0,5i)

Kan någon skriva en utförlig uträkning så jag bara kan läsa rakt av, vänlig hälsning!

Dr. G 9500
Postad: 17 jul 2017 17:44

När du sätter real- och imaginärdelarna av HL och VL lika så får du ett ekvationssystem i a och b. Lös med valfri metod. 

DrCheng 83 – Fd. Medlem
Postad: 17 jul 2017 17:54
Dr. G skrev :

När du sätter real- och imaginärdelarna av HL och VL lika så får du ett ekvationssystem i a och b. Lös med valfri metod. 

Tack för snabbt svar!

 

Hade varit till stor hjälp ifall grundarna av Matematik 5000 inte behövde vara så pass formella när det kommer till att skriva ut svar i facit. 

Kopplade inte omedelbart att 2/2^0,5 är detsamma som 2^0,5...

Alltså jag har haft rätt svar hela tiden men blev förd bakom ljuset pga facit.... 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 17 jul 2017 17:55

Du har alltså att

a2-b2=0,2ab =-4

Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a =±b. Kombinerar man detta så inser man att a=-b. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man

2a*(-a) =-4 -a2=-2 a2=2

Denna har lösningarna a =±2 så tänker man nu på att b = -a så får man att lösningarna är

2-2i, eller -2+2i

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 17 jul 2017 20:23

Hej!

Du vill finna alla komplexa tal ( z z ) som är sådana att

    z2+i4=0+i0 . \displaystyle z^2 + i4 = 0+i0\ .

Metod 1: (Lösning på rektangulär form)

Det komplexa talet z z skrivs på rektangulär form som

    z=a+ib . \displaystyle z = a+ib\ .

Det medför att det komplexa talet

    z2+i4=(a2-b2)+i(2ab+4) . \displaystyle z^2 +i4 = (a^2-b^2) + i(2ab+4)\ .

För att detta komplexa tal ska vara lika med det komplexa talet 0+i0 0+i0 måste det gälla att

    a2-b2=0 a^2-b^2 = 0 samtidigt som 2ab+4=0 . 2ab+4 = 0\ .

Detta är samma sak som att

    z=2(1-i) z=\sqrt{2}(1-i) eller z=2(-1+i) . z = \sqrt{2}(-1+i)\ .

Metod 2: (Lösning på polär form.)

Det komplexa talet z z skrivs på polär form som

    z=reiv \displaystyle z = re^{iv} ,

där r r är ett positivt tal och v v är en vinkel mellan 0 0 och 2π 2\pi radianer. Det komplexa talet i4 i4 skrivs också på polär form som

   i4=4eiπ2+i2πn \displaystyle i4 = 4e^{i\frac{\pi}{2} + i 2\pi n}

där n n betecknar ett godtyckligt positivt heltal. Ekvationen z2=i4 z^2 = i4 är samma sak som ekvationen

    r2ei2v=4ei(π2+2πn) , \displaystyle r^2e^{i2v} = 4e^{i(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)}\ ,

vilket är samma sak som att r=2 r = 2 och v=π4+πn . v = \frac{\pi}{4} + \pi n\ . Lösningarna till ekvationen z2=i4 z^2 = i4 är därför

    z=2eiπ4 z = 2e^{i\frac{\pi}{4}} och z=2ei(π4+π) z = 2e^{i(\frac{\pi}{4} + \pi)} .  

Albiki

DrCheng 83 – Fd. Medlem
Postad: 17 jul 2017 20:27
Stokastisk skrev :

Du har alltså att

a2-b2=0,2ab =-4

Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a =±b. Kombinerar man detta så inser man att a=-b. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man

2a*(-a) =-4 -a2=-2 a2=2

Denna har lösningarna a =±2 så tänker man nu på att b = -a så får man att lösningarna är

2-2i, eller -2+2i

Hej, tack för svar!

Förstår inte steget här:

"Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a = ±b
. Kombinerar man detta så inser man att a= −b
. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man..."

 

Hur får du fram att a=-b? Gäller alltid den likheten?

 

Vänlig hälsning!

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 17 jul 2017 20:31

Det är inte ovanligt (särskilt inte på högskole/universitetsnivå) att det tar längre tid att inse att mitt svar är ekvivalent med det som står i facit än vad det tog för mig att räkna ut mitt svar - men det är ganska irriterande!

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 17 jul 2017 20:36
DrCheng skrev :
Stokastisk skrev :

Du har alltså att

a2-b2=0,2ab =-4

Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a =±b. Kombinerar man detta så inser man att a=-b. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man

2a*(-a) =-4 -a2=-2 a2=2

Denna har lösningarna a =±2 så tänker man nu på att b = -a så får man att lösningarna är

2-2i, eller -2+2i

Hej, tack för svar!

Förstår inte steget här:

"Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a = ±b
. Kombinerar man detta så inser man att a= −b
. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man..."

 

Hur får du fram att a=-b? Gäller alltid den likheten?

 

Vänlig hälsning!

Säg att a och b har samma tecken, då måste a*b vara positivt, eller hur? Så eftersom 2ab = -4, vilket är negativt, så måste alltså a och b ha olika tecken.

Från den första ekvationen får man att a2-b2=0 a2=b2  a =±b. Så alltså är antingen a = b eller så är a = -b, men då de måste ha olika tecken så följer det att a = -b.

Denna likhet gäller inte alltid, för något annat ekvationssystem så behöver det inte vara på detta sätt.

DrCheng 83 – Fd. Medlem
Postad: 18 jul 2017 15:13
Stokastisk skrev :
DrCheng skrev :
Stokastisk skrev :

Du har alltså att

a2-b2=0,2ab =-4

Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a =±b. Kombinerar man detta så inser man att a=-b. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man

2a*(-a) =-4 -a2=-2 a2=2

Denna har lösningarna a =±2 så tänker man nu på att b = -a så får man att lösningarna är

2-2i, eller -2+2i

Hej, tack för svar!

Förstår inte steget här:

"Den andra ekvationen betyder att a och b har olika tecken, den första betyder att a = ±b
. Kombinerar man detta så inser man att a= −b
. Sätter man in detta i andra ekvationen så får man..."

 

Hur får du fram att a=-b? Gäller alltid den likheten?

 

Vänlig hälsning!

Säg att a och b har samma tecken, då måste a*b vara positivt, eller hur? Så eftersom 2ab = -4, vilket är negativt, så måste alltså a och b ha olika tecken.

Från den första ekvationen får man att a2-b2=0 a2=b2  a =±b. Så alltså är antingen a = b eller så är a = -b, men då de måste ha olika tecken så följer det att a = -b.

Denna likhet gäller inte alltid, för något annat ekvationssystem så behöver det inte vara på detta sätt.

Stort tack!

Svara
Close