polynomekvationer

Ange samtliga rötter till $z^{6} - 2 z^{3} + 2 = 0$

Jag har börjat med att sätta $t = z^{3}$

$t^{2} - 2 t + 2 = 0 (t - 1)^{2} - 1^{2} + 2 = 0 (t - 1)^{2} = - 1 t - 1 = \pm i t = 1 \pm i$

omvandling till polär form

$r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} r = \sqrt{2} a r g z = \pm \frac{π}{4} i 1 \pm i = \sqrt{2} (\cos \pm \frac{π}{4}) + (i \sin \pm \frac{π}{4}) = \sqrt{2} e^{\pm \frac{π}{4} i}$

Men hur går jag vidare därefter?

juuwlia skrev:
Ange samtliga rötter till $z^{6} - 2 z^{3} + 2 = 0$
Jag har börjat med att sätta $t = z^{3}$
$t^{2} - 2 t + 2 = 0 (t - 1)^{2} - 1^{2} + 2 = 0 (t - 1)^{2} = - 1 t - 1 = \pm i t = 1 \pm i$
omvandling till polär form
$r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} r = \sqrt{2} a r g z = \pm \frac{π}{4} i 1 \pm i = \sqrt{2} (\cos \pm \frac{π}{4}) + (i \sin \pm \frac{π}{4}) = \sqrt{2} e^{\pm \frac{π}{4} i}$
Men hur går jag vidare därefter?

Ett par slarvfel när du skriver men du tänker och räknar rätt.

Nästa steg blir att substituera tillbaka till z.

Du har alltså att lösa de två ekvationerna

$z^3=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}$

och

$z^3=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i}$

Då kan du till exempel använda de Moivres formel.

Okej, vart gör jag fel härnäst?

$z^{3} = \sqrt{2} e^{+ \frac{π}{4} i} z = \sqrt[3]{2} e^{+ \frac{π}{12} i}$

juuwlia skrev:
Okej, vart gör jag fel härnäst?
$z^{3} = \sqrt{2} e^{+ \frac{π}{4} i} z = \sqrt[3]{2} e^{+ \frac{π}{12} i}$

Beloppet är fel. Roten ur 2 upphöjt till en tredjedel är inte lika med tredjeroten ur 2.
Det finns fler vinklar v i intervallet 0 till 2pi som löser ekvationen 3*v = pi/4 + 2npi.

okej, tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar