Polynomekvationer

My bad! Det ska stå 

$z^2+(2-2i)z-6i-3=0$ 

och inte

$z^2+(2-2i)z+6i-3=0$.

Jag räknar på det och återkommer om jag stöter på problem.

Hej!

Steg 1. Jag kvadratkompletterar polynomet för att få följande ekvation.

    $(z+1-i)^2 - 3 - 4i = 0\ .$

Sedan inför jag beteckningen $w = z+1-i$ vilket ger den binomiska ekvationen

    $w^2 = 3+i4\ .$

Steg 2. Jag skriver sedan de komplexa talen på polär form: $w = re^{iv}$ och $3+i4 = 5e^{i\theta + i2\pi n}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal och $\tan \theta = \frac{4}{3}\ .$

Ekvationen $w^2 = 3+i4$ är samma sak som de två ekvationerna $r^2 = 5$ och $2v = \theta + 2\pi n$ vilket ger lösningarna

    $w_{0} = \sqrt{5}e^{i 0.5\theta}$ och $w_{1} = \sqrt{5}e^{i0.5\theta + i\pi}$

till den binomiska ekvationen, med de motsvarande lösningarna till den ursprungliga ekvationen

    $z_{0} = \sqrt{5}e^{i0.5\theta} - 1 + i$ och $z_{1} = \sqrt{5}e^{i0.5\theta + i\pi} - 1 + i$.

Steg 3. Lösningarna skrivs på rektangulär form:

    $z_{0} = (\sqrt{5}\cos 0.5\theta - 1) + i(1+\sqrt{5}\sin 0.5\theta) = 1+i2$

och

    $z_{1} = (\sqrt{5}\cos (0.5\theta + \pi) -1) + i(1+\sqrt{5}\sin (0.5\theta + \pi)) = -3+i0\ .$

Albiki

Fel av mig. Här är rätt tillvägagångssätt:

Sedan vet jag inte riktigt. I tredje kolumnen ($2xy = 4$) säger de att om det är ett negativt tal (vilket det inte är) ska $x$ och $y$ ha olika tecken. Betyder det att i denna lösningen har vi

$w_1 = 2+i$ och $w_2 = -2-i$?

UPDATE:

Var gör jag fel? $z_1$ är rätt men $z_2 = 1+2i$.

Om jag skulle lösa den här ekvationen skulle jag använda pq-formeln.

Föraren skrev :

Fel av mig. Här är rätt tillvägagångssätt:

Sedan vet jag inte riktigt. I tredje kolumnen ($2xy = 4$) säger de att om det är ett negativt tal (vilket det inte är) ska $x$ och $y$ ha olika tecken. Betyder det att i denna lösningen har vi

$w_1 = 2+i$ och $w_2 = -2-i$?

Ditt tillvägagångssätt är rätt och mitt är fel? :)

Skämt åsido, dina ekvationer ger att om $x=2$ så måste $y=1$ och när $x=-2$ så måste $y=-1,$ vilket ger de två talen

    $w_1 = 2+i$ och $w_2=-2-i.$

De motsvarande lösningarna till den ursprungliga ekvationen är

    $z_1 = 1+i2$ och $z_2= -3.$

Albiki

@Albiki, ditt sätt är säkert rätt men följer ett exempel som är väldigt snarlikt det jag visar ovan. Ditt sätt fungerar också.

@Smaragdalena Jo men jag vill lösa det på det här viset då det är så det kommer att vara på tentan, förmodligen. :)

Menar du att det skulle stå i uppgiften vilken metod man skall använda? På en högskoletenta? Det borde man få bedöma själv.

Nja, menar mer att det kommer förmodligen en uppgift där denna metod krävs för att lösa uppgiften. 

Föraren skrev :

Nja, menar mer att det kommer förmodligen en uppgift där denna metod krävs för att lösa uppgiften. 

Hej!

Om du är intresserad av att använda en standardmetod för att lösa problem av denna typ så ska du använda min lösningsmetod.

• Din metod ger två komplicerade andragradsekvationer i variablerna $x$ och $y$ som ska lösas samtidigt, vilket är ett lika svårt problem att lösa som det ursprungliga problemet.
• Min metod ger två enkla ekvationer att lösa (en för $r$ och en för $\theta$) som direkt visar att den ursprungliga ekvationen har flera lösningar (som bestäms av heltalet $n$).
• Min metod ger en kortare lösning än din metod, vilket är av avgörande betydelse i en tentasituation.

Albiki

Nu förstår jag bättre! Läste vidare i boken och stöter på nästa avsnitt, binomiska ekvationer. Inte konstigt jag inte kände igen din uträkning. :)

Jag gör en ny tråd för en annan uppgift. Tack för allt i denna tråd!