Polynomekvationer

Äpple skrev:

Hej Hur gör man fråga 3?

Om man ritar in en linje y = 3 ser det ut som om man får tre rötter med enkla koordinater.

varför blir det +3 i (x-2)(x-1)(x+2) och varför finns det inget k-värde? När kan man utesluta k värdet? Vad gör man om man får fram att k värdet är noll fast inte i detta sammanhang? 

Vilka rötter har funktionen h(x) = 3?

Menar du att k är 0 i (x-2)(x-1)(x+2)? Det är det inte, det är 1.

Nej, jag menar att varför man ibland kan utesluta k och varför i denna fråga ska man ha med plus 3 i funktionen 

Smaragdalena skrev:

Vilka rötter har funktionen h(x) = 3?

3 st rötter? 

Vad menar du med k-värde?

t.ex om vi skriver en funktion i faktormform 

k(x-x1)(x-x2)

så kan man ibland ta bort koefficienten k framför faktorerna? Varför är det så? 

Jag skrev ju det. Då är k = 1.

nej inte riktigt det jag syftar på. Jag förstår att det kan vara svårt att begripa vad jag menar. Kan jag lägga till frågan i en annan tråd där du kan svara?

Äpple skrev:

Smaragdalena skrev:

Vilka rötter har funktionen h(x) = 3?

3 st rötter? 

Vilka tre rötter har ekvationen h(x) = 3?

x=2

x=1

x=-2

men varför blir det +3 också 

Äpple skrev:

x=2

x=1

x=-2

se igen på x=-2   

Äpple skrev:

t.ex om vi skriver en funktion i faktormform 

k(x-x1)(x-x2)

så kan man ibland ta bort koefficienten k framför faktorerna? Varför är det så? 

Generellt gäller att alla polynom P(x) av grad n kan skrivas i faktoriserad form enligt P(x) = k(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)...(x-x_n), där k är en konstant.

För att bestämma de obekanta storheterna k, x₁, x₂ ch så vidare kan man gå till väga på några olika sätt.

Om polynomet endast har reella nollställen x₁, x₂...x_n så kan man ofta bestämma dem genom att se var grafen till y = P(x) skär x-axeln.

Det var nog så du gjorde på fråga 1 och 2.

För att bestämma k behöver du känna till något mer kring polynomet. Ofta får du detta genom att hitta ytterligare en punkt (x_a, y_a) på grafen.

Ekvationen y_a = P(x_a) ger dig då värdet på k.

Detta värde kan vara 1, dvs P(x) = 1•(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n).

Då väljer man att inte skriva ut den faktorn 1 och vi får P(x) = (x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n).

Jag hoppas att det var svar på din fråga om k.

======= Till uppgiften =======

Jag skulle välja en annan metod för att ta fram h(x).

Eftersom grafen endast skär x-axeln vid ett ställe så är två av nollställena komplexa och då är det lite bökigare att ta fram polynomets faktorisering.

Då tycker jag att det är enklare att sätta h(x) = ax³+bx²+cx+d, hitta 4 punkter på grafen och sätta upp ett ekvationssystem för att lösa ut de 4 obekanta a, b, c och d.

Förslag på punkter: (-2,3), (0,7), (1,3) och (2,3).

hur gör man med faktoriserung och inte ekvationssystem?

jag fattar inte 

Äpple skrev:

hur gör man med faktoriserung och inte ekvationssystem?

Jag ser inte hur du kan undvika ett ekvationssystem även om du går på spåret med faktorisering.

Äpple skrev:

jag fattar inte 

Vi har att h(x) = ax³+bx²+cx+d

Att punkten (-2, 3) ligger på grafen innebär att

a•(-2)³+b•(-2)²+c•(-2)+d = 3 

Att punkten (0,7) ligger på grafen innebär att

a•0³+b•0²+c•0+d = 7

Och så vidare.

De 4 punkterna kommer alltså att ge dig 4 ekvationer med vars hjälp du kan bestämma de 4 obekanta storheterna a, b c och d.

men va jag har gjort fel någonstans 

Du räknar för mycket i huvudet alternativt tar för stora räknesteg när du skriver på papperet.

Ta mindre steg:

h(x) = ax³+bx²+cx+d

h(0 = 7 ger d = 7. Då har vi

h(x) = ax³+bx²+cx+7

Vi vet att h(-2) = h(1) = h(2) = 3, vilket ger oss

• 3 = a•(-2)³+b•(-2)²+c•(-2)+7
• 3 = a•1³+b•1²+c•1+7
• 3 = a•2³+b•2²+c•2+7

Efter förenkling:

• -4 = -8a+4b-2c
• -4 = a+b+c
• -4 = 8a+4b+2c

Eftersom ekvation 1 och ekvation 2 är väldigt lika varandra avseende koefficienterna så passar det bra att addera dessa ekvationer ledvis.

Vi får då

(-4)+(-4) = (-8a+4b-2c)+(8a+4b+2c)

Efter förenkling får vi

-8 = 8b, dvs b = -1

Ekvationerna ser då ut så här:

• -4 = -8a+4•(-1)-2c
• -4 = a+(-1)+c
• -4 = 8a+4•(-1)+2c

Efter förenkling:

• 0 = -8a-2c
• -3 = a+c
• 0 = 8a+2c

Om vi multiplicerar ekvation 2 med 2 så får vi

• 0 = -8a-2c
• -6 = 2a+2c
• 0 = 8a+2c

Nu kan vi addera ekvation 1 och ekvation 2 ledvis och vi får då:

0+(-6) = (-8a-2c)+(2a+2c)

Efter förenkling får vi

-6 = -6a, dvs a = 1

Om vi nu sätter in det i ekvation 1 så får vi

0 = -8•1-2c, dvs 8 = -2c, dvs c = -4

Det ger oss h(x) = x³-x²-4x+7

tack så mycket!!! 

men jag fattar inte vart det gick fel i min beräkning 

Jaha, allt var nästan rätt förutom det allra sista där jag beräknade värdet på a. 

1. Det skulle bli 0=24-24a
2. =-24=-24a
3. =a=1

i den femtonde raden 

Dracaena skrev:

Äpple, det är inte tillåtet att spamma sin tråd på det sättet du gör. Om du vill tillägga något ska kan du antingen redigera ditt inlägg om ingen annan har svarat ännu eller använda "kommentera" knappen. 

men hur kan de då få en notis om att jag har besvarat deras fråga? 

Äpple skrev:

Dracaena skrev:

Äpple, det är inte tillåtet att spamma sin tråd på det sättet du gör. Om du vill tillägga något ska kan du antingen redigera ditt inlägg om ingen annan har svarat ännu eller använda "kommentera" knappen. 

men hur kan de då få en notis om att jag har besvarat deras fråga? 

Varför tror du att någon hellre skulle vilja ha tre meddelanden om att du har svarat än  ett?