Polynomekvation, roten 2i

sätt z = 2i och sätt in i ekvationen då blir VL förhoppningsvis 0. Men det är ju i och för sig onödigt, eftersom det är givet att 2i är en rot till ekvationen.

Dela istället hela VL med z-2i för att få fram den andragradare som återstår att lösa.

Som Ture sa, fast med andra ord:

Du har ekvationen P(z) = 0, där P(z) är ett polynom av grad 3.

Eftersom z = 2i är en rot till ekvationen så är (z - 2i) en faktor i polynomet P(z).

Ekvationen kan alltså skrivas (z - 2i)*Q(z) = 0, där Q(z) är ett polynom av grad 2 som är sådant att (z - 2i)*Q(z) = P(z).

okej när jag delar med z-2i får jag kvoten $z^2-3iz-3-i+3-3\Rightarrow z^2-3iz-3-i$

så där är alltså mitt andragradspolynom

ska jag då sätta in z=a+bi så får jag $a^2-b^2+2abi-3ia+3b-3-i=0$

med realdel $\left(a^2-b^2+3b-3\right)=0$ 

och imaginärdel $\left(2ab-3a-1\right)i=0$

EDIT - Jag är ute och cyklar. Det var ju helt rätt här ovan.

Realdelen är rätt men imaginärdelen blev fel.

Den ska vara -3a - 1

okej så då har vi -3a-1=0 då blir det -3a=1 och a=-1/3

men jag vet inte hur jag ska få fram svaret i facit som blir rötterna 2i,-1+i,1+2i

goljadkin skrev :

okej när jag delar med z-2i får jag kvoten $z^2-3iz-3-i+3-3\Rightarrow z^2-3iz-3-i$

så där är alltså mitt andragradspolynom

ska jag då sätta in z=a+bi så får jag $a^2-b^2+2abi-3ia+3b-3-i=0$

med realdel $\left(a^2-b^2+3b-3\right)=0$ 

och imaginärdel $\left(2ab-3a-1\right)i=0$

Jag tror att Yngve har fel för en gångs skull, nog är dina siffror enl ovan korrekta!?

Ture skrev :

Jag tror att Yngve har fel för en gångs skull, nog är dina siffror enl ovan korrekta!?

Ja! Jättefel! Tack för påpekandet. Jag ber om ursäkt och stryker min tokiga kommentar ovan.

okej så om jag då har

realdelen $\left(a^2-b^2+3b-3\right)=0$ och imaginärdelen $\left(2ab-3a-1\right)i=0$ 

hur ska jag nu gå vidare för att få fram rötterna 2i,-1+i,1+2i

Vanligtvis vill man ju ha

$$\begin{gathered} a^2-b^2= \\ 2abi= \end{gathered}$$

men nu har vi flera andra termer

Roten 2i har du redan dividerat bort. Det enklaste hade varit att behålla andragradsekvationen i z och lösa den med pq-formeln eller kvadratkomplettering, men om du vill lösa ekvationssystemet med a och b i stället går det förstås också. Om du kallar b-3/2 för c får ekvationerna det utseende du känner igen, a^2-c^2=..., 2ac=...

okej så om vi tar pq-formeln ska vi alltså ha $z=\frac{3}{2}i\pm \sqrt{-{\left(\frac{3}{2}i\right)}^2+3+i}\Rightarrow \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{12}{4}+\frac{4i}{4}}\Rightarrow \sqrt{\frac{21+4i}{4}}$

Nu blev det fel under rottecknet.

Det ska vara (-p/2)^2 inte -(p/2)^2.

okej men blir det inte ändå 9/4 då vi får (-3i/2)^2= (-9i^2/4)=9/4

Nej. $(\frac{-3i}{2}{)}^2 = \frac{(-3{)}^2{i}^2}{2^2} = \frac{9(-1)}{4} = \frac{-9}{4}$