Polynomekvation med kvadratkomplettering under rottecken

Hej!

Försöker lösa följande uppgift.

"Lös ekvationen $z^{2} + (4 - 2 i) z - 8 i = 0$ med pq-formeln genom att kvadratkomplettera under rotuttrycket."

Jag har kommit till det steg då ekvationen ser ut såhär: $z = - 2 + i \pm \sqrt{3 - 4 i}$ . I facit gör de då om talet till följande: $z = - 2 + i \pm \sqrt{(2 + i)^{2}}$ . Jag behärskar kvadratkomplettering om ett uttryck är på formen $x^{2} + p x + q$ , men förstår inte alls hur man ska utföra någon kvadratkomplettering på ett uttryck som ser ut såhär: $3 - 4 i$ .

Vad är det de egentligen har gjort i facit?

Lös ekvationen:

$(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=$

$a^2-b^2+2abi=3-4i$

Alternativt:

$w=re^{iv}=3-4i$

$r=|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$

$v=\arctan{(\frac{-4}{3})}$

$\sqrt{w}=\sqrt{r}e^{i\frac{v}{2}}$

$\tan \frac{v}{2}=\frac{\sin v}{1+\cos v}$

Tack för hjälpen, lyckades lösa den med den första metoden!

Hmm jag förstod inte riktigt. Under rotuttrycket finns 3+4i inte 3-4i ! men hur blir den till (2+i)^2 ? Delar man pz med 2 alltså (4-2i)/2. Men då får man ju 2-i och inte är det som står under rottecknet.

petti skrev:
Hmm jag förstod inte riktigt. Under rotuttrycket finns 3+4i inte 3-4i ! men hur blir den till (2+i)^2 ? Delar man pz med 2 alltså (4-2i)/2. Men då får man ju 2-i och inte är det som står under rottecknet.

EDIT - korrigerat felskrivning.

Diskriminanten (det som står under rotenur-tecknet) är $3+4i$ .

Så här:

Eftersom $p=4-2i$ så är $\frac{p}{2}=2-i$ och alltså $(\frac{p}{2})^2=(2-i)^2=3-4i$

Med $q=-8i$ så blir diskriminanten $(\frac{p}{2})^2-q=3-4i+8i=3+4i$

För att skriva om detta till en jämn kvadrat kan vi ansätta (dvs gissa) att det finns ett $a$ och ett $b$ som är sådana att $(a+bi)^2=3+4i$ .

Det ger oss sambandet $a^2+2abi-b^2=3+4i$ , dvs $a^2-b^2+2ab=3+4i$ .

Det ger oss två ekvationer:

$a^2-b^2=3$

$2ab=4$

Lös det ekvationssystemet så får du fram att $a=2$ och $b=1$ .

Yngve skrev:
petti skrev:
Hmm jag förstod inte riktigt. Under rotuttrycket finns 3+4i inte 3-4i ! men hur blir den till (2+i)^2 ? Delar man pz med 2 alltså (4-2i)/2. Men då får man ju 2-i och inte är det som står under rottecknet.
Nej diskriminanten (det som står under rotenur-tecknet) är $3-4i$ .
Så här:
Eftersom $p=4-2i$ så är $\frac{p}{2}=2-i$ och alltså $(\frac{p}{2})^2=(2-i)^2=3-4i$
Med $q=-8i$ så blir diskriminanten $(\frac{p}{2})^2-q=3-4i+8i=3-4i$
För att skriva om detta till en jämn kvadrat kan vi ansätta (dvs gissa) att det finns ett $a$ och ett $b$ som är sådana att $(a+bi)^2=3-4i$ .
Det ger oss sambandet $a^2+2abi-b^2=3-4i$ , dvs $a^2-b^2+2ab=3-4i$ .
Det ger oss två ekvationer:
$a^2-b^2=3$
$2ab=4$
Lös det ekvationssystemet.

Nej, det här stämmer inte: 3−4i+8i=3−4i.

Laguna skrev:

Nej, det här stämmer inte: 3−4i+8i=3−4i.

Tack, jag fick just reda på felet av Smaragdalena och höll på att korrigera samtidigt som du skrev det här.

Svara

Visa senaste svar