Polynomekvation med komplexa tal

Förslag: ansätt $z=ib$ Då har du ytterligare en rot, z-konjugat. Sedan: Faktorsatsen och på det polynomdivision. Du vet att resten ska bli noll.

Eller konstatera att x²+b² är en faktor. Ansätt x² + ax + c som den andra faktorn och multiplicera ihop.

$$\begin{gathered} (x^2+b^2)(x^2+ax+c) \\ {x}^4+a{x}^3+c{x}^2+b^2{x}^2+b^{2}ax+b^{2}c \\ 1 -1 7 -9 -18 \end{gathered}$$

a=-1

b=3

c=-2

$$\begin{gathered} (x^2-x-2)=0 \\ x=2 \\ x=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x+9=0 \\ x=3i \\ x=-3i \end{gathered}$$

studyingteen skrev:

$$\begin{gathered} (x^2+b^2)(x^2+ax+c) \\ {x}^4+a{x}^3+c{x}^2+b^2{x}^2+b^{2}ax+b^{2}c \\ 1 -1 7 -9 -18 \end{gathered}$$

 

a=-1

b=3

c=-2

 

$$\begin{gathered} (x^2-x-2)=0 \\ x=2 \\ x=-1 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} x+9=0 \\ x=3i \\ x=-3i \end{gathered}$$

Snyggt.

Eftersom ekvationssystemet endast ger dig sambandet $b^2=9$ så bör du nog motivera varför du väljer bort möjligheten att $b = -3$.

Det är överflödigt att bestämma $b$ eftersom den variabeln endast kommer in på formen $b^2$ i beräkningen. Det räcker att konstatera att $b^2=9$. Det är tillräckligt för att lösa uppgiften.

Anm Metoden ovan fungerar bra, men jag vill ändå tillfoga metoden med polynomdivision (PD), därför att PD är ett nyttigt hantverk, som används flitigt i baskurserna i matematik (för t ex civ-ing).

Vi noterar att polynomet $z^4-z^3+7z^2-9z-18$ är delbart med polynomet $z^2+b^2$ enligt tidigare repliker i denna tråd. Det innebär att vi redan har vetskap om, att resten vid PD blir noll.

Vi sätter upp algoritmen (liggande stol):

Eftersom blåmarkerad rest =0, innebär detta: $b^2-9=0$. Det leder till att vår restterm nollas, eller hur?

Härav fås $z_{1,2}=\pm 3i$. Den rödmarkerade kvoten med insatt värde på  $b^2$, ger slutligen andragradsekvationen

$z^2-z-2=0$, med rötterna $z_{3,4}=\dfrac{1\pm 3}{2}$.