Polynomekvation med komplexa tal

Lös ekvationen för x i C.

$x^{5} = 2 \sqrt{3} - 2 i$

Jag började med att räkna ut längden, absolutbeloppet, som blev 4;

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 4$

Då gäller att $2 \sqrt{3} - 2 i = 4 (\cos (v) + i * \sin (v))$

samt att $\cos (v) = (2 \sqrt{3}) \div 4 = \sqrt{3} \div 2$ vilket ger vinkeln $v = 11 π \div 6$ , eftersom att vi befinner oss i fjärde kvadranten (då den imaginära delen är negativ).

Via moivers formel fås att

$x^{5} = r^{5} * (\cos (5 w) + i * \sin (5 w)) x = r^{1 / 5} * (\cos (11 π \div 30 + 2 nπ \div 5) + i * \sin (11 π \div 30 + 2 nπ \div 5))$

Jag får då fram följande svar:

$x = r^{1 / 5} * (\cos (11 π \div 30) + i * \sin (11 π \div 30)) x = r^{1 / 5} * (\cos (23 π \div 30) + i * \sin (23 π \div 30)) x = r^{1 / 5} * (\cos (35 π \div 30) + i * \sin (35 π \div 30)) x = r^{1 / 5} * (\cos (47 π \div 30) + i * \sin (47 π \div 30)) x = r^{1 / 5} * (\cos (59 π \div 30) + i * \sin (59 π \div 30))$

Allt jag vet är att dessa svar inte är rätt, kan någon snälla hjälp mig på traven?

belopp z⁵ = 4, ok

argumentet z⁵ = arctan(-2/(2sqrt(3))) = -pi/3 ( vis er på det komplexa talet att vi är i fjärde kvadranten)

z⁵ = 4(cos(-pi/3 + 2npi)+isin(-pi/3 + 2npi))

z = 4/5(cos(-pi/15 + 2npi/5) + isin(-pi/15 + 2npi/5))

n = 0,1,2,3 eller 4 för de 5 olika lösningarna

Svara