6 svar
230 visningar
logic behöver inte mer hjälp
logic 50
Postad: 10 nov 2019 17:55

Polynomekvation med komplexa tal

Ekvationen z4-z3+7z2-9z-18=0 har en rent imaginär rot. Lös ekvationen. 

 

Jag förstår att om ekvationen har en rent imaginär rot så är konjugatet till den rent imaginära roten även en rot (enligt en sats). Jag undrar om det finns något smidigt sätt att hitta rötterna?  

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 10 nov 2019 18:05

Förslag: ansätt z=ibz=ib Då har du ytterligare en rot, z-konjugat. Sedan: Faktorsatsen och på det polynomdivision. Du vet att resten ska bli noll.

Laguna Online 30239
Postad: 10 nov 2019 18:09

Eller konstatera att x2+b2 är en faktor. Ansätt x2 + ax + c som den andra faktorn och multiplicera ihop.

logic 50
Postad: 10 nov 2019 18:53 Redigerad: 10 nov 2019 18:55

(x2+b2)(x2+ax+c)x4+ax3+cx2+b2x2+b2ax+b2c1     -1            7            -9      -18

 

a=-1

b=3

c=-2

 

(x2-x-2)=0x=2x=-1

 

x+9=0x=3ix=-3i

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 11 nov 2019 08:54 Redigerad: 11 nov 2019 08:56
studyingteen skrev:

(x2+b2)(x2+ax+c)x4+ax3+cx2+b2x2+b2ax+b2c1     -1            7            -9      -18

 

a=-1

b=3

c=-2

 

(x2-x-2)=0x=2x=-1

 

x+9=0x=3ix=-3i

Snyggt.

Eftersom ekvationssystemet endast ger dig sambandet b2=9b^2=9 så bör du nog motivera varför du väljer bort möjligheten att b=-3b = -3.

tomast80 4245
Postad: 11 nov 2019 09:48 Redigerad: 11 nov 2019 09:49

Det är överflödigt att bestämma bb eftersom den variabeln endast kommer in på formen b2b^2 i beräkningen. Det räcker att konstatera att b2=9b^2=9. Det är tillräckligt för att lösa uppgiften.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 12 nov 2019 15:38 Redigerad: 12 nov 2019 15:49

Anm Metoden ovan fungerar bra, men jag vill ändå tillfoga metoden med polynomdivision (PD), därför att PD är ett nyttigt hantverk, som används flitigt i baskurserna i matematik (för t ex civ-ing).

Vi noterar att polynomet z4-z3+7z2-9z-18z^4-z^3+7z^2-9z-18 är delbart med polynomet z2+b2z^2+b^2 enligt tidigare repliker i denna tråd. Det innebär att vi redan har vetskap om, att resten vid PD blir noll.

Vi sätter upp algoritmen (liggande stol):

Eftersom blåmarkerad rest =0, innebär detta: b2-9=0b^2-9=0. Det leder till att vår restterm nollas, eller hur?

Härav fås z1,2=±3iz_{1,2}=\pm 3i. Den rödmarkerade kvoten med insatt värde på  b2b^2, ger slutligen andragradsekvationen

z2-z-2=0z^2-z-2=0, med rötterna z3,4=1±32z_{3,4}=\dfrac{1\pm 3}{2}.

Svara
Close