Polynomekvation av högre grad

Du har korrekt konstaterat att konjugatet, -i, är en rot till ekvationen. Bekräfta detta, och polynomdividera. Tips om du inte gillar att polynomdividera: att dividera med en faktor först, och sedan en annan, är samma som att dividera med produkten av faktorerna. I detta fall: $(x-i)(x+i)=x^2+1$. :)

Smutstvätt skrev:

Du har korrekt konstaterat att konjugatet, -i, är en rot till ekvationen. Bekräfta detta, och polynomdividera. Tips om du inte gillar att polynomdividera: att dividera med en faktor först, och sedan en annan, är samma som att dividera med produkten av faktorerna. I detta fall: $(x-i)(x+i)=x^2+1$. :)

Men om jag gillar att polynomdividera :-) då ska jag altså utföra två polynomdivisioner ? Jag har ju utfört en med (x-i), ska jag då altså utföra en till med (x+i) ? Jag kan altså inte jobba med enbart den ekvationen jag fick fram genom polynomdivision med (x-1)?

poijjan skrev:

Men om jag gillar att polynomdividera :-) då ska jag altså utföra två polynomdivisioner ? Jag har ju utfört en med (x-i), ska jag då altså utföra en till med (x+i) ? Jag kan altså inte jobba med enbart den ekvationen jag fick fram genom polynomdivision med (x-1)?

Du menar "... genom polynomdivision med (x-i)".

Svar: Jovisst kan du jobba med ekvationen efter endast en division! Om du gillar att lösa tredjegradsekvationer med komplexa koefficienter lika mycket som du gillar att polynomdividera 😉

Yngve skrev:

poijjan skrev:

Men om jag gillar att polynomdividera :-) då ska jag altså utföra två polynomdivisioner ? Jag har ju utfört en med (x-i), ska jag då altså utföra en till med (x+i) ? Jag kan altså inte jobba med enbart den ekvationen jag fick fram genom polynomdivision med (x-1)?

Du menar "... genom polynomdivision med (x-i)".

Svar: Jovisst kan du jobba med ekvationen efter endast en division! Om du gillar att lösa tredjegradsekvationer med komplexa koefficienter lika mycket som du gillar att polynomdividera 😉

Ja såklart , (1-i) 

Det lät iof trevligt, men avstår väl då p.g.a tidsbrist :-) 

Men har nu gjort ytterligare en polynomdivision fast med (1+i). Så jag har fått fram två ekvationer:

$$\begin{gathered} \left(z^3+z^{2}i-z^2-zi-6z+6i\right)\left(z-i\right)=0 \\ (z^3-z^{2}i-z^2+zi-6z+6i)(z+i)=0 \end{gathered}$$

Använder nollproduktsmetoden , detta ger mig i och -i som två lösningar. Sen vet jag ju att dom första faktorerna i bägge led ska vara 0, så sätter dom lika varandra

Men här får jag bara ut z=0 

poijjan skrev:

Ja såklart , (1-i) 

Det lät iof trevligt, men avstår väl då p.g.a tidsbrist :-) 

 

Men har nu gjort ytterligare en polynomdivision fast med (1+i). Så jag har fått fram två ekvationer:

$$\begin{gathered} \left(z^3+z^{2}i-z^2-zi-6z+6i\right)\left(z-i\right)=0 \\ (z^3-z^{2}i-z^2+zi-6z+6i)(z+i)=0 \end{gathered}$$

Använder nollproduktsmetoden , detta ger mig i och -i som två lösningar. Sen vet jag ju att dom första faktorerna i bägge led ska vara 0, så sätter dom lika varandra

Men här får jag bara ut z=0 

Nej du missuppfattar vad som ska divideras med vad.

Läs detta svar från Smutstvätt igen.

-----------------

Om polletten ändå inte faller ner kan du läsa vidare här för en mer ingående förklaring:

Kalla ursprungspolynomet för $P(z)$, dvs $P(z)=z^4-z^3-5z^2-z-6$.

Du vet att både $i$ och $-i$ är nollställen till $P(z)$.

Det betyder att både $(z-i)$ och $(z+i)$ är faktorer i $P(z)$.

Det betyder att $P(z)$ kan skrivas som $P(z)=(z-i)(z+i)Q(z)$, dvs $P(z)=(z^2+1)Q(z)$, där $Q(z)$ är ett polynom av grad 2.

Det betyder att $Q(z)=\frac{P(z)}{z^2+1}$.

Om du utför den polynomdivisionen så får du ett andragradspolynom $Q(z)$. Om du sedan löser ekvationen $Q(z)=0$ så hittar du enkelt de två resterande nollställena.

Yngve skrev:

poijjan skrev:

Ja såklart , (1-i) 

Det lät iof trevligt, men avstår väl då p.g.a tidsbrist :-) 

 

Men har nu gjort ytterligare en polynomdivision fast med (1+i). Så jag har fått fram två ekvationer:

$$\begin{gathered} \left(z^3+z^{2}i-z^2-zi-6z+6i\right)\left(z-i\right)=0 \\ (z^3-z^{2}i-z^2+zi-6z+6i)(z+i)=0 \end{gathered}$$

Använder nollproduktsmetoden , detta ger mig i och -i som två lösningar. Sen vet jag ju att dom första faktorerna i bägge led ska vara 0, så sätter dom lika varandra

Men här får jag bara ut z=0 

Nej du missuppfattar vad som ska divideras med vad.

Läs detta svar från Smutstvätt igen.

-----------------

Om polletten ändå inte faller ner kan du läsa vidare här för en mer ingående förklaring:

Kalla ursprungspolynomet för $P(z)$, dvs $P(z)=z^4-z^3-5z^2-z-6$.

Du vet att både $i$ och $-i$ är nollställen till $P(z)$.

Det betyder att både $(z-i)$ och $(z+i)$ är faktorer i $P(z)$.

Det betyder att $P(z)$ kan skrivas som $P(z)=(z-i)(z+i)Q(z)$, dvs $P(z)=(z^2+1)Q(z)$, där $Q(z)$ är ett polynom av grad 2.

Det betyder att $Q(z)=\frac{P(z)}{z^2+1}$.

Om du utför den polynomdivisionen så får du ett andragradspolynom $Q(z)$. Om du sedan löser ekvationen $Q(z)=0$ så hittar du enkelt de två resterande nollställena.

Grymt förklarat! Nu hänger jag med på vad hur menar!