Polynomekvation

Hej! Jag har problem med att ta mig vidare och se logiken i polynomekvationer. Nedan ser ni ekvationen i översta raden och därefter följer min början på uträkningen.

Några frågor:
1. Gäller det att en polynomekvation har lika många rötter som dess högsta grad (i det här fallet 4)?
2. Jag har kommit fram till den första roten. Som jag förstått det så måste den första av kommande 3 rötter gissas, varför är det så?
3. Använder man sig alltid av $\frac{p}{q}$ för att vidare lösa ekvationen?

$3 t^{4} = - t^{3} + 9 t^{2} + 3 t 3 t^{4} + t^{3} - 9 t^{2} - 3 t = 0 t (3 t^{3} + t^{2} - 9 t - 3) = 0 r o t 1 = 0 3 t^{3} + t^{2} - 9 t = 0$

Tack på förhand!

1. Ja, men i dessa fyra rötter räknas rötter med imaginärdelar och dubbelrötter räknas som två rötter.

2. Därför att du nu har en tredjegradsekvation. För sådana lär man sig inga allmänna lösningsformler (alltså typ pq-formeln fast för tredjegradsekvationer) på gymnasiet, och eftersom man inte ser någon uppenbar ytterligare faktorisering behöver man gissa.

3. Man måste inte, men det blir mycket enklare att gissa sig fram till de rationella rötterna eftersom man kan se att vissa villkor måste gälla på lösningarna.

Jag kan ta mig vidare såhär långt och därefter vet jag att $(t + \frac{1}{3})$ ska bli en faktor till polynomet, men varför blir $t_{2} = - \frac{1}{3} \to (t + \frac{1}{3})$ ? Det känns som att jag missar något grundläggande. Att HL kan flyttas över till VL förstår jag, men inte varför just det ska användas vidare i polynomfaktoriseringen för att finna de sista 2 rötterna.

$3 t^{3} + t^{2} - 9 t - 3 = 0 \frac{p}{q}, d ä r p m å s t e d e l a k o n s \tan t e n o c h q m å s t e d e l a k o e f f i c i e n t e n f ö r h ö g s t a g r a d e n s p o l y n o m \to p m å s t e d e l a - 3 q m å s t e d e l a 3 D e t g e r d e m ö j l i g a r ö t t e r n a \pm 3, \pm 1 o c h \pm \frac{1}{3} P r ö v n i n g v i s a r a t t r o t_{2} ä r - \frac{1}{3}$

En produkt är 0 om och endast om en av faktorerna är 0. Om du faktoriserar ett polynom till (x-a)(x-b)(x-c)... så är det alltså bara 0 när någon av faktorerna är 0. I ditt fall så är polynomet 0 när $t=-\frac{1}{3}$ , alltså ska en av faktorerna vara 0 då, och alltså är den faktorn $(t+\frac{1}{3})$ . Det är därför man letar nollställen när man ska faktorisera, för att varje nollställe precis motsvarar en faktor.

Tack för förklaringen Harald! Jag ska göra några övningsuppgifter och se om det sätter sig.

Svara

Visa senaste svar