Polynomdivision och primitiv funktion

har du testat polynomdivision? 

yes, får rest då

OK, hur ser ditt uttryck ut med restterm?

Det jag får är $\frac{x^2+4}{x-1}=x+1$och sen 5 som rest. Är inte säker på hur jag ska skriva det då. Blir det möjligtivs $\frac{x^2+4}{(x-1)(x+1)+5}?$

Laura2002 skrev:

Det jag får är $\frac{x^2+4}{x-1}=x+1$och sen 5 som rest.

Ja det stämmer.

Är inte säker på hur jag ska skriva det då. Blir det möjligtivs $\frac{x^2+4}{(x-1)(x+1)+5}?$

Du undrar alltså om de båda uttrycken är identiska, eller hur?

Kan du komma på något enkelt sätt att ta reda på det?

Yes, om man multiplicerar parenteserna i nämnaren och sedan adderar 5 så får man täljaren

Fast så som jag skrev det är fel då jag satte faktorerna i nämnaren 

Laura2002 skrev:

Det jag får är $\frac{x^2+4}{x-1}=x+1$och sen 5 som rest. Är inte säker på hur jag ska skriva det då. Blir det möjligtivs $\frac{x^2+4}{(x-1)(x+1)+5}?$

Ditt bråk kan alltså skrivas som

X+1 +5/(x-1)

Vilket är enklare att integrera

Yes, fick fram det också men gör fortfarande något fel :/

Du behöver inte hålla på med variabelsubstitition.

Integranden är $\frac{x^2+4}{x-1}$, vilket kan skrivas som $x+1+\frac{5}{x-2}$, dvs en summa av tre termer.

Du kan nu direkt ta fram en primitiv funktion till detta uttryck, term för term.

Tillägg: 16 nov 2022 11:32

Skrev fel nämnare på sista termen.

Der ska vara $\frac{5}{x-1}$

Hmm okej, men hur får du fram det?

De primitiva funktionerna till summan f(x)+g(x)+h(x) är F(x)+G(x)+H(x)+C, där F, G och H är primitiva funktioner till f, g och h.

Det är jag med på men undrar hur du får tre termer där de två första saknar nämnare 

Okej kanske kom på, skriver om ca 15 min om jag inte har fått rätt på det då

det funkade inte så som jag tänkte :(

Jag kan tycka att det är lite overkill att använda poldiv här. 

Yngve skrev:

Du behöver inte hålla på med variabelsubstitition.

Integranden är $\frac{x^2+4}{x-1}$, vilket kan skrivas som $x+1+\frac{5}{x-2}$, dvs en summa av tre termer.

Du kan nu direkt ta fram en primitiv funktion till detta uttryck, term för term.

---

Tillägg: 16 nov 2022 11:32

Skrev fel nämnare på sista termen.

Der ska vara $\frac{5}{x-1}$

Ahhh super, var det jag fastnade på. Då hänger jag med! Tusen tack för all hjälp

Laura2002 skrev:

Det är jag med på men undrar hur du får tre termer där de två första saknar nämnare 

Metod 1: Polynomdivision.

(x²+4)/(x-1) ger kvot (x+1) och rest 5, vilket innebär att (x²+4)/(x-1) = (x+1)+5/(x-1).

Detta är på samma sätt som 13/4 = 3 med rest 1, dvs 13+1/4.

Metod 2: Lägg till och ta bort.

(x²+4)/(x-1) = (x²-1+5)/(x-1) = ((x-1)(x+1)+5)/(x-1) = (x-1)(x+1)/(x-1)+5/(x-1) = (x+1)+5/(x-1)