Polynomdivision och Kvadratkomplettering

Hej! Jag håller på med denna uppgift och jag har nu löst a) men fastnat på b)

Jag ska alltså nu hitta de övriga rötterna till polynomet p(x)=2*x^3+3x^2-6x+2

Den rationella roten var 1/2

Så gjorde jag:

Med hjälp av polynomdivision och med användning av division trappan delade jag p(x) med x-(1/2) och fick fram att resten är 0 och kvoten är 2x^2+4x-4

då kunde jag skriva om polynomet:

2x^3+3x^2-6x+2 = (x-1/2)(2x^2+4x-4)

-> 2x^2+4x-4 = 0

förkortade bort koefficienten framför x^2

-> x^2+2x-2 = 0

-> x^2+2x = 2

Jag löste detta med kvadratkomplettering och kom fram till detta:

x1 = -1+ roten ur 3

x2 = -1 - roten ur 3

men x blir då ett långt decimaltal. Jag har fastnat här då svaret blir konstigt! Jag undrar var jag har gjort fel?

jag skulle verkligen uppskatta hjälp! Tack i förväg :)

Du har gjort rätt. Men ta inte fram några närmevärden utan använd istället de exakta värden du fått fram.

Du har hittat de tre nollställena

$x_1=\frac{1}{2}$
$x_2=-1+\sqrt{3}$
$x_3=-1-\sqrt{3}$

Motsvarande faktorer är därför

$(x-\frac{1}{2})$
$(x-(-1+\sqrt{3})=(x+1-\sqrt{3})$
$(x-(-1-\sqrt{3})=(x+1+\sqrt{3})$

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:
Du har gjort rätt. Men ta inte fram några närmevärden utan använd istället de exakta värden du fått fram.
Du har hittat de tre nollställena
$x_1=\frac{1}{2}$
$x_2=-1+\sqrt{3}$
$x_3=-1-\sqrt{3}$
Motsvarande faktorer är därför
$(x-\frac{1}{2})$
$(x-(-1+\sqrt{3})=(x+1-\sqrt{3})$
$(x-(-1-\sqrt{3})=(x+1+\sqrt{3})$
Kommer du vidare då?

Tack så mycket!

Så jag har alltså fått svar på b) och hittat alla tre rötter? Så i slutet där är du inne på c) uppgiften eller har jag missförstått?

Ja, Yngve har börjat fundera på deluppgift c.

Yngve skrev:
Du har gjort rätt. Men ta inte fram några närmevärden utan använd istället de exakta värden du fått fram.
Du har hittat de tre nollställena
$x_1=\frac{1}{2}$
$x_2=-1+\sqrt{3}$
$x_3=-1-\sqrt{3}$
Motsvarande faktorer är därför
$(x-\frac{1}{2})$
$(x-(-1+\sqrt{3})=(x+1-\sqrt{3})$
$(x-(-1-\sqrt{3})=(x+1+\sqrt{3})$
Kommer du vidare då?

Tack! Borde inte produkten av dessa 3 faktorer vara p(x)?

Alltså blir svaret på c:

(x-1/2) X (x+1-√3) X (x+1+√3) = 2x^3+3x^2-6x+2 = p(x)

svar: p(x) = (x-1/2) X (x+1-√3) X (x+1+√3)

Har jag gjort rätt?

Hej.

Det gäller att om $p(x)$ har nollställen $x_1$ , $x_2$ och $x_3$ så kan $p(x)$ skrivas i faktoriserad form på följande sätt:

$p(x)=k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ , där $k$ är en konstant som är lika med koefficienten framför $x^3$ -termen.

----------

Har du prövat att multiplicera ihop dina tre faktorer?

Yngve skrev:
Hej.
Det gäller att om $p(x)$ har nollställen $x_2$ , $x_2$ och $x_3$ så kan $p(x)$ skrivas i faktoriserad form på följande sätt:
$p(x)=k(x-x_2)(x-x_2)(x-x_3)$ , där $k$ är en konstant som är lika med koefficienten framför $x^3$ -termen.
----------
Har du prövat att multiplicera ihop dina tre faktorer?

Alltså är k = 2 i detta fall då det var koefficienten framför x^3?

isåfall bör svaret vara: p(x) = 2*(x-1/2) * (x+1-√3) * (x+1+√3)

Har jag tänkt rätt?

Tack för hjälpen!

Pröva!

Multiplicera ihop ditt förslag till lösning.

Om resultatet då blir lika med p(x) så är det rätt, annars inte.

Svara

Visa senaste svar