Polynomdivision med imaginär rot

Är målet att först hitta roten?

Exakt hur lyder uppgiften? Får du inte veta något mer om roten än att den är imaginär?

Om så är fallet kan du ju visserligen konstatera att du måste ha två imaginära rötter som är komplexkonjugat av varandra (i och med att imaginärdelarna ska ta ut varandra och ge reella koefficienter), men det hjälper inte särskilt mycket. Du får nog i sådana fall börja leta efter rationella rötter.

Det står polynomdivision, men vad ska divideras? Ska du hitta alla rötterna? 

Det borde väl gå bra att identifiera polynomet med (z=ai)(z+ai)(z-b) för att hitta a och b?

Edit: ja, det gick bra, t o m i huvudet. 

Står bara lös polymekvationen fullständigt. Man vet att den har en ren imaginär rot. 

Du har två alternativ:

• Som Laguna säger, identifiera koefficienterna i $(z-ai)(z+ai)(z-b)=0$ och lös med nollproduktmetoden.
• Leta efter rationella rötter och med hjälp av faktorsatsen och polynomdivision reducera ekvationen till en andragradsekvation.

Vilken tror du att du är mest bekväm med?

Solmyrkvi skrev:

Står bara lös polymekvationen fullständigt. Man vet att den har en ren imaginär rot. 

Polynomet har reella koefficienter, vilket betyder att komplexa rötter förekommer i komplexkonjugerade par, dvs om $a+bi$ är en rot så är även $a-bi$ en rot.

Du vet att en rot är rent imaginär, dvs en rot är $bi$. Då är även dess komplexkonjugat $-bi$ en rot.

Det betyder att du känner till två faktorer i polynomet, nämligen $(z-bi)$ och $(z+bi)$, vilket i sin tur innebär att den tredje roten måste vara reell, dvs polynomet kan skrivas $k(z-bi)(z+bi)(z-a)$, där $k$, $b$ och $a$ är reella konstanter.

Du kan nu multiplicera ihop din faktorisering, jämföra med ursprungspolynomet och identifiera termer.

Alla $z^3$-termer måste vara lika, alla $z^2$-termer måste vara lika. alla $z$-termer måste vara lika och alla konstanttermer måste vara lika.

Alternativ ett har jag aldrig gjort. Alternativ två har jag åtminstone sett utföras men vet nu inte hur jag ska börja? Är det bara att testa sig fram eller finns det några knep att ta till?

Solmyrkvi skrev:

Alternativ ett har jag aldrig gjort. Alternativ två har jag åtminstone sett utföras men vet nu inte hur jag ska börja? Är det bara att testa sig fram eller finns det några knep att ta till?

 Har du talas om rationella rotsatsen?

Den säger att eventuella rationella rötter till ett polynom är plus minus faktorerna för konstanttermen delat på faktorerna för termen av högst grad.

I detta fall behöver du alltså testa plus minus alla faktorer till $176$.

Såg nu att du är ny här. Välkommen till Pluggakuten!