Polynomdivision med i

Är lite rostig på det här, men vad jag ser verkar det rätt så långt. Tänk på att $i^2=-1$

Sista ledet i det du noterat är alltså detsamma som $-\left(i{x}^2+x\right)$. Vilket gör att även x försvinner, och kvar blir -2.

i^2=-1

Tack för hjälpen!

Eftersom du gjort rätt hela vägen och bara snubblade på den sista detaljen kommer här en mer utförlig förklaring.

Vi börjar med ett referensexempel:
"Vad blir resten om vi delar 13 med 3?"
$\raisebox{1ex}{$13$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.=4\frac{1}{3}$ . Resten är 1. Det är inte $\frac{1}{3}$, utan enbart den "heldel" som vi inte kunde dela med divisorn (i det här fallet 3).

Nu när grunderna är klargjorda ger vi oss in i den riktiga uppgiften.

När du i divisionen fått fram $x^2+ix$ så har du enbart -2 kvar, vilket inte är delbart med (x-i). Vi kommer inte längre. Då borde rimligtvis -2 vara resten.

Vi kontrollräknar! Vi börjar med att multiplicera ihop det vi precis kom fram till med divisorn för att påvisa att det stämmer.
$\left(x^2+ix\right)*\left(x-i\right)=\hspace{0.17em}{x}^3-i{x}^2+i{x}^2-i^{2}x=x^3+x$

Det påminner ju om vad vi startade med. Vi utnyttjar det samband för att förenkla vår division:

$\frac{x^3+x-2}{x-i}=/Mankanalltiddelauppiflerabråkomdetärplusellerminus/=\frac{x^3+x}{x-i}+\frac{-2}{x-i}$

Man kan ju alltid dela upp ett bråks täljare i delar. Vi kan sätta $x^3$ för sig och x för sig också om vi vill. Men vi vill ju ha dem ihopgrupperade eftersom vi nu uttnyjar att $x^3+x=\left(x^2+ix\right)*\left(x-i\right)$ vilket vi ju kom fram till tidigare. Sätter vi in det får vi nu

$\frac{x^3+x}{x-i}+\frac{-2}{x-i}=\frac{\left(x^2+ix\right){\displaystyle *}{\displaystyle \left(x-i\right)}}{x-i}+\frac{-2}{x-i}=/förkortarx-i/=\left(x^2+ix\right)+\frac{-2}{x-i}$

-2 är alltså rest vid division med x-i.

Om vi återkopplar till vårt referensexempel så ser analogin ut så här:

$\frac{13}{3}=\frac{12+1}{3}=\frac{12}{3}+\frac{1}{3}=4+\frac{1}{3}$

1 är alltså rest vid division med 3.