Polynomdivision igen

Hitta alla rötter till q och testa dem i p.

Visa att nollställena till q(x) också är nollställen till p(x). Kan x = 1 kanske vara ett nollställe till q(x) månne?

Rötterna för q(x) är x=1,$\frac{8}{3},\frac{13}{3}$och de är även rötter till p.

Hur gör det att p(x) är delbart med q(x)? Antar att det har med faktorsatsen att göra?

Kikade på lösningen och tydligen säger den att:

Eftersom q(x) har rötterna 1, $\frac{8}{3}$och $\frac{13}{3}$

är q(x)=$(x-1)(x-\frac{8}{3})(x-\frac{13}{3})$

Varför är det så?? Ser dock att det stämmer, men går det att visa? gissar att det har med faktorsatsen att göra

p(x) har också dessa som några av sina rötter och kan därför skrivas p(x)=(x-1)$(x-\frac{8}{3})(x-\frac{13}{3})$*(x-$x_4$)*...*$(x-x_n)$,

$x_4,...,x_n$ är p(x):s rötter. 

Alltså är p(x)/q(x)=$(x-x_4)*...*(x-x_n)$. 

och således är p(x) delbart med q(x). Men hur vet man att (x-x4)*...*(x-xn) är ett heltal?

Varför skulle det vara heltal?

Smaragdalena skrev:

Varför skulle det vara heltal?

annars är väll inte p(x) delbart med q(x)?

(x-x₄)*...*(x-x_n) är ett polynom, inte ett tal, varken heltal, naturligt tal, rationellt tal eller reellt tal. Var för skulle rötterna x₄... x_n vara heltal, när ett par av dina tidigare rötter var 8/3 respektive 13/3?

Smaragdalena skrev:

(x-x₄)*...*(x-x_n) är ett polynom, inte ett tal, varken heltal, naturligt tal, rationellt tal eller reellt tal. Var för skulle rötterna x₄... x_n vara heltal, när ett par av dina tidigare rötter var 8/3 respektive 13/3?

Men det är väll inte delbart med q(x) då? eller?

lamayo skrev:

Smaragdalena skrev:

(x-x₄)*...*(x-x_n) är ett polynom, inte ett tal, varken heltal, naturligt tal, rationellt tal eller reellt tal. Var för skulle rötterna x₄... x_n vara heltal, när ett par av dina tidigare rötter var 8/3 respektive 13/3?

Men det är väll inte delbart med q(x) då? eller?

Delbarhet är ett begrepp som man först lär sig i samband med heltal (och historiskt var väl det först också), men delbarhetsbegreppet kan tillämpas på andra matematiska konstruktioner också, t.ex. polynom.

p(x) är delbart med q(x) om p(x) = q(x)*r(x) för något polynom r(x). Och det är fallet om alla faktorer i q(x) är faktorer i p(x).

Jag vet inte om jag svarade på frågan.

Laguna skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

(x-x₄)*...*(x-x_n) är ett polynom, inte ett tal, varken heltal, naturligt tal, rationellt tal eller reellt tal. Var för skulle rötterna x₄... x_n vara heltal, när ett par av dina tidigare rötter var 8/3 respektive 13/3?

Men det är väll inte delbart med q(x) då? eller?

Delbarhet är ett begrepp som man först lär sig i samband med heltal (och historiskt var väl det först också), men delbarhetsbegreppet kan tillämpas på andra matematiska konstruktioner också, t.ex. polynom.

p(x) är delbart med q(x) om p(x) = q(x)*r(x) för något polynom r(x). Och det är fallet om alla faktorer i q(x) är faktorer i p(x).

Jag vet inte om jag svarade på frågan.

det förklarar saken. tack! Nu blev jag förvirrad över en annan sak. Varför kan q(x) skrivas q(x)=(x-1)(x-$\frac{8}{3}$)(x-$\frac{13}{3}$)? Förstår att de löser q(x)=0 men hur vet man att det är lika med q(x)?

Faktorsatsen säger väll att det kan skrivas q(x)=$(x-1)(x-\frac{8}{3})(x-\frac{13}{3})$s(x), s(x) är något polynom?

Faktorsatsen säger att p(x)=q(x)s(x)=(x-1)(x-(8/3))(x-(13/3))s(x) där s(x) är något polynom (med grad 3 lägre än p(x)).

Multiplicera ihop (x-1)(x-(8/3))(x-(13/3)) och se att det är lika med x³-8x²+(167/9)x-104/9.

Smaragdalena skrev:

Faktorsatsen säger att p(x)=q(x)s(x)=(x-1)(x-(8/3))(x-(13/3))s(x) där s(x) är något polynom (med grad 3 lägre än p(x)).

Multiplicera ihop (x-1)(x-(8/3))(x-(13/3)) och se att det är lika med x³-8x²+(167/9)x-104/9.

jag förstår, tack så mycket för hjälpen!