polynomdivision
Hej! Inom Ma4 lär man sig att lösa högre grads polynomer med hjälp av polynomdivision via den s.k. "liggande-stol" metoden. Detta gör man enligt vad jag förstår faktorsatsen, som säger att om x = a är ett nolställe så är (x-a) en faktor till en polynomfunktion p(x).
--> p(x) = (x-a)q(x)
Och nu vet jag hur man löser division av polynomer med täljare som är av högre grad, men vad om vi har ingen division? Ska man bara välja ett slumpmässigt a för att dividera som man sätter i ex. (x-a) som är enklast att ha i nämnare? Men då är det hög sannolikhet att man får en rest som är inte 0, kan man fortfarande lösa ekvationen då?
Om man inte ska välja slumpmässigt nämnaren, behöver man väl först lösa ut ett nollställe till ekvationen. Men hur gör man det i så fall?
Sedan kommer frågan om nämnaren består av en polynom med högre gradtal än täljaren? Då kommer givetvis liggande stol metoden inte att fungera. Vad gör man då?
Om man vet en rot a så kan man dividera polynomet med x-a och få ett polynom med lägre grad, och sen kan man kanske fortsätta att hitta nollställen till det.
Att bara ta ett godtyckligt tal a är knappast användbart.
Om nämnaren har högre gradtal än täljaren så finns ingen division att göra: då är kvoten 0 och resten är täljaren.
Vad menar du med att "vi har ingen division"? Handlar det om att du inte kan hitta värdet på ditt a? Det finns ingen rimlig garanti att man gör det, men det finns ett enkelt knep: Fixa först så att den högsta potensen i ekvationen är 1. Då vet man att den bekanta termen är produkten av rötterna. Du har kanske hört den när det gäller andragradsekvationer, men den gäller också för ekvationer med högre gradtal. Om rötterna inte är heltal blir det ändå svårt. Det finns metoder som liknar "pq-formeln" för ekvationer av tredje och fjärde graden. Jag kan dom inte själv och jag har bara träffat en person som kunde dom. Har man sett dessa formler fylla "svarta tavlan" så förstår man varför. Ett anmärkningsvärt faktum är att för ekvationer av femte och högre grad har man BEVISAT att det inte finns någon slags "pq-formel" (Galoisteori ).
Din sista fråga är lättare att besvara. Det är du själv som bestämmer vilket gradtal du vill ha i nämnaren. Du kan dividera med en rot i taget eller kan du slå samman (x-a)(x-b) ... där a, b,c är de funna rötterna och dividera. Situationen som du beskriver kan dessutom inte uppstå för antalet rötter överstiger aldrig ekvationens gradtal. (Såvida inte vi har en identitet.)
Laguna skrev:Om man vet en rot a så kan man dividera polynomet med x-a och få ett polynom med lägre grad, och sen kan man kanske fortsätta att hitta nollställen till det.
Att bara ta ett godtyckligt tal a är knappast användbart.
Om nämnaren har högre gradtal än täljaren så finns ingen division att göra: då är kvoten 0 och resten är täljaren.
Men i de allra flesta fall vet man ju ingen rot till funktionen? I enklare polynomer som ex. tredjegrads är det rätt så enkelt att faktorisera det, men detta är mycket svårare (i alla fall för mig) för högre grader. Finns det då en metod som man kan använda för att ta reda på denna första rot på ett enkelt och smidigt sätt?
Om polynomet har heltalskoefficienter och man vet eller misstänker att en rot är ett heltal så finns det en sats som säger att roten är en faktor i den konstanta termen, så då finns det ett begränsat antal möjligheter att prova.
Laguna skrev:Om polynomet har heltalskoefficienter och man vet eller misstänker att en rot är ett heltal så finns det en sats som säger att roten är en faktor i den konstanta termen, så då finns det ett begränsat antal möjligheter att prova.
min förra ma3 lärare visade samma sak, men jag förstod inte riktigt, jag får nog titta på en video om det eller som ni påpekar på, titta på formlerna till 3:e och 4:e ekvationerna, vilket jag har sett förut och ser väldigt komplexa ut
Tomten skrev:Vad menar du med att "vi har ingen division"? Handlar det om att du inte kan hitta värdet på ditt a? Det finns ingen rimlig garanti att man gör det, men det finns ett enkelt knep: Fixa först så att den högsta potensen i ekvationen är 1. Då vet man att den bekanta termen är produkten av rötterna. Du har kanske hört den när det gäller andragradsekvationer, men den gäller också för ekvationer med högre gradtal. Om rötterna inte är heltal blir det ändå svårt. Det finns metoder som liknar "pq-formeln" för ekvationer av tredje och fjärde graden. Jag kan dom inte själv och jag har bara träffat en person som kunde dom. Har man sett dessa formler fylla "svarta tavlan" så förstår man varför. Ett anmärkningsvärt faktum är att för ekvationer av femte och högre grad har man BEVISAT att det inte finns någon slags "pq-formel" (Galoisteori ).
Din sista fråga är lättare att besvara. Det är du själv som bestämmer vilket gradtal du vill ha i nämnaren. Du kan dividera med en rot i taget eller kan du slå samman (x-a)(x-b) ... där a, b,c är de funna rötterna och dividera. Situationen som du beskriver kan dessutom inte uppstå för antalet rötter överstiger aldrig ekvationens gradtal. (Såvida inte vi har en identitet.)
Jag tror inte jag förstår hur du menar med att "fixa så att den högsta potensen i ekvationen är 1"? Är det inte med andra ord bara faktorisering? Kan du ge ett exempel?
Jag har sökt runt, och detta är inte faktorisering som jag missförstod, det är något som kallas för Vietes formler. Som enligt wikipedia är när man delar hela polynomet med koefficienten av högsta potensen för att göra denna koefficient till 1. Och sen så prövar man fram sig tills man hittar en rot enligt den obekanta/konstanten. Detta är ju vad Laguna pratade om väl också? Eller har jag missförstått igen?
Det är rätt uppfattat. Med "fixa" menade jag just det, att dividera med koefficienten för högsta potensen.
theaskingpenguin skrev:jag får nog titta på en video om det eller som ni påpekar på, titta på formlerna till 3:e och 4:e ekvationerna, vilket jag har sett förut och ser väldigt komplexa ut
Jag avråder dig från att lägga dyrbar tid på att lära dig formler för tredje- och/eller fjärdegradsekvationer.
Sannolikheten att du någonsin kommer att behöva använda någon av dessa formler är väldigt liten.
Det räcker att du vet att de finns.
