Polynomdivision
Polynomet f(x) lämnar resten x + 2 vid division med x^2 + 2x - 3 och lämnar resten 1 vid division med x + 2. Vilken rest erhålls då f(x) divideras med x^3 + 4x^2 + x - 6?
Jag har försökt att använda Euklides algoritm.
f(x) = q(x) (x^2 + 2x + 3) + x + 2
x^2 + 2x - 3 = (x + 2) p(x) + 1
1 = x^2 + 2x - 3 - (x + 2) p(x)
= x^2 + 2x - 3 - (f(x) - q(x) (x^2 + 2x + 3)) p(x)
= (x^2 + 2x - 3) (q(x) p(x)) - f(x)
Men jag förstår inte riktigt vad jag ska göra här. Kanske finns det någon sats jag bör använda?
Går det få ihop med ett ekvationssystem?
Jag tittade lite på din och försökte med ett eget system lite inspirerat av ditt:
f(x) = p(x^2 + 2x - 3) + (x + 2)
f(x) = p(x + 3)(x - 1) + (x + 2) A
f(x) = q(x + 2) + 1
Nu:
(f(x) - 1)/q = (x + 2)
Insättning i ekvation A ger
f(x) = p(x + 3)(x - 1) + (f(x) - 1)/q
f(x) - (f(x) - 1)/q = p(x + 3)(x - 1)
q*f(x) - f(x) = pq(x + 3)(x - 1) - 1
(x + 2) * f(x) * (q - 1) = pq(x + 3)(x - 1)(x + 2) - 1 = pq(x^3 + 4x^2 + x - 6) - 1
Här ser man tydligt p.g.a. att det är - 1 att resten bör bli x^3 + 4x^2 + x - 7
SVAR: Resten blir x^3 + 4x^2 + x - 7
Är jag ute och cyklar?
Ja, en rest när du delat på en tredjegradare kan ha max grad 2. Tror du behöver stoppa in några tal för att få ut det.
De nämnda polynomen har en del gemensamma nollställen. Det kanske kan ge något.
