13 svar
150 visningar
BroderEmil behöver inte mer hjälp
BroderEmil 118 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 21:35 Redigerad: 22 okt 2017 21:50

Polynomdivision

God kväll,

 

Ännu en uppgift som jag nu har fastnat på:

"Bestäm alla rötter till ekvationen x4+4x3-x2-20x=20"

1. Få över alla termer till en sida:

x4+4x3-x2-20x-20=0

Tidigare testade jag (med tur?) och fick rätt. Jag tänkte som så att termen som inte innehåller x, vad kan man dela det med som lägst (bortsett från 1)? Jo, 2. Nu ser vi på våra termer med x. Vilken exponent har vi som lägst här? Jo, x1 (alltså, x). Därför bryter jag ut (x+2). Är det rätt tänkt så? Jag är mycket osäker till detta.

 

Vänligen,

BroderEmil

Ture Online 10272 – Livehjälpare
Postad: 22 okt 2017 21:48

du är lite motsägelsefull, har du skrivit av ekvationen rätt, ska det möjligen vara 

x^4+4x^3-x^2-20x = 20?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 21:49

Nej det låter inte som du tänker rätt. Det låter som du tänker på rationella rotsatsen, i detta fall så säger den att om det finns en rationell rot, så är det en heltalsdivisor till 40. Alltså någon av

-40, -20, -10, -8, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Så du måste testa dessa för att se om någon av dem är rötter.

Men sedan så tror jag att ekvationen är felskriven, det bör nog vara

x4+4x3-x2-20x=20 x^4 + 4x^3 - x^2 - 20x = 20

BroderEmil 118 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 21:50

Tack, jag hade läst rätt men skrivit fel... Ber om ursäkt!

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 21:57

Okej, om det då finns en rationell rot så ska du testa med divisorerna till 20. Alltså

-20, -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10, 20

Så om du testar med -2 så kommer du se att det är en rot. Detta betyder att (x - (-2)) = (x + 2) måste vara en faktor till polynomet, så ta och dela bort denna faktor med hjälp av polynomdivision.

 

Eller så råkar man se att

x4+4x3-x2-20x-20=(x4+4x3+4x2)-(5x2+20x+20)=x2(x2+4x+4)-5(x2+4x+4) x^4 + 4x^3 - x^2 - 20x - 20 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) - (5x^2 + 20x + 20) = x^2(x^2 + 4x + 4) - 5(x^2 + 4x + 4)

Så sedan fortsätter man faktorisera.

Bubo 7323
Postad: 22 okt 2017 22:08

Även -4 och 4 är delare till 20.

BroderEmil 118 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 22:18

Jag har nu genomfört en omgång med polynomdivision och då fått (x3+2x2-5x-10)(x+2). Sedan genomför jag polynomdivision en gång till och testar att dividera med (x+2) igen då -2 är en rationell rot till -10. Men här stöter jag då på problem. Då får jag kvoten x2 och resten -5x-10 (alltså x2+-5x-10x+2). Gör jag fel?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 22:22

Det är korrekt att -2 är en rot till x3+2x2-5x-10 x^3 + 2x^2 - 5x - 10 , så därför måste det vara så att (x + 2) är en faktor till detta polynom. Därför måste divisionen gå jämnt ut annars gör du något fel. Notera också att resten måste ha lägre grad än det polynom du delar med.

(Notera att -5x-10 = -5(x + 2) så det kommer gå jämnt ut).

BroderEmil 118 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 22:30 Redigerad: 22 okt 2017 22:32

Det betyder att ännu lite räkning på detta så får jag fram ekvationen (x+2)(x-5)(x+5). Svaret på denna uppgift är då att ekvationens rötter är -25 samt -5.

BroderEmil 118 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 22:31

En sådan hjälp ni ger mig allihopa, jag är extremt tacksam!

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 22:33 Redigerad: 22 okt 2017 22:34

Fast tänk på att faktorn (x + 2) förekommer två gånger. Så efter faktorisering bör du få att ekvationen blir

(x+2)2(x+5)(x-5)=0 (x + 2)^2(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5}) = 0

Det påverkar ju dock inte vilka lösningarna blir.

BroderEmil 118 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 22:34

@Stokastisk:

Det är meningen att man skulle fastna på det jag nyss gjorde och sedan se problemet, -5x-10x+2=-5(x+2)x+2=-5?

BroderEmil 118 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 22:35

Tack, bra noterat! Jag har det i mina uträkningar men lätt att glömma!

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 22:39
BroderEmil skrev :

@Stokastisk:

Det är meningen att man skulle fastna på det jag nyss gjorde och sedan se problemet, -5x-10x+2=-5(x+2)x+2=-5?

Nu vet jag inte om jag missförstår dig, men jag vet inte om det är tänkt att man ska fastna just där.

Men iaf, det är korrekt att -5x-10x+2=-5 \frac{-5x - 10}{x + 2} = -5 , så kvoten blir alltså x2-5 x^2 - 5 utan rest.

Svara
Close