Polynomdivision

God kväll,

Ännu en uppgift som jag nu har fastnat på:

"Bestäm alla rötter till ekvationen $x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} - 20 x = 20$ "

1. Få över alla termer till en sida:

$x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} - 20 x - 20 = 0$

Tidigare testade jag (med tur?) och fick rätt. Jag tänkte som så att termen som inte innehåller $x$ , vad kan man dela det med som lägst (bortsett från $1$ )? Jo, $2$ . Nu ser vi på våra termer med $x$ . Vilken exponent har vi som lägst här? Jo, $x^{1}$ (alltså, $x$ ). Därför bryter jag ut $(x + 2)$ . Är det rätt tänkt så? Jag är mycket osäker till detta.

Vänligen,

BroderEmil

du är lite motsägelsefull, har du skrivit av ekvationen rätt, ska det möjligen vara

x^4+4x^3-x^2-20x = 20?

Nej det låter inte som du tänker rätt. Det låter som du tänker på rationella rotsatsen, i detta fall så säger den att om det finns en rationell rot, så är det en heltalsdivisor till 40. Alltså någon av

-40, -20, -10, -8, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Så du måste testa dessa för att se om någon av dem är rötter.

Men sedan så tror jag att ekvationen är felskriven, det bör nog vara

$x^4 + 4x^3 - x^2 - 20x = 20$

Tack, jag hade läst rätt men skrivit fel... Ber om ursäkt!

Okej, om det då finns en rationell rot så ska du testa med divisorerna till 20. Alltså

-20, -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10, 20

Så om du testar med -2 så kommer du se att det är en rot. Detta betyder att (x - (-2)) = (x + 2) måste vara en faktor till polynomet, så ta och dela bort denna faktor med hjälp av polynomdivision.

Eller så råkar man se att

$x^4 + 4x^3 - x^2 - 20x - 20 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) - (5x^2 + 20x + 20) = x^2(x^2 + 4x + 4) - 5(x^2 + 4x + 4)$

Så sedan fortsätter man faktorisera.

Även -4 och 4 är delare till 20.

Jag har nu genomfört en omgång med polynomdivision och då fått $(x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 10) (x + 2)$ . Sedan genomför jag polynomdivision en gång till och testar att dividera med $(x + 2)$ igen då $- 2$ är en rationell rot till $- 10$ . Men här stöter jag då på problem. Då får jag kvoten $x^{2}$ och resten $- 5 x - 10$ (alltså $x^{2} + \frac{- 5 x - 10}{x + 2}$ ). Gör jag fel?

Det är korrekt att -2 är en rot till $x^3 + 2x^2 - 5x - 10$ , så därför måste det vara så att (x + 2) är en faktor till detta polynom. Därför måste divisionen gå jämnt ut annars gör du något fel. Notera också att resten måste ha lägre grad än det polynom du delar med.

(Notera att -5x-10 = -5(x + 2) så det kommer gå jämnt ut).

Det betyder att ännu lite räkning på detta så får jag fram ekvationen $(x + 2) (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5})$ . Svaret på denna uppgift är då att ekvationens rötter är $- 2$ , $\sqrt{5}$ samt $- \sqrt{5}$ .

En sådan hjälp ni ger mig allihopa, jag är extremt tacksam!

Fast tänk på att faktorn (x + 2) förekommer två gånger. Så efter faktorisering bör du få att ekvationen blir

$(x + 2)^2(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5}) = 0$

Det påverkar ju dock inte vilka lösningarna blir.

@Stokastisk:

Det är meningen att man skulle fastna på det jag nyss gjorde och sedan se problemet, $\frac{- 5 x - 10}{x + 2} = \frac{- 5 (x + 2)}{x + 2} = - 5$ ?

Tack, bra noterat! Jag har det i mina uträkningar men lätt att glömma!

BroderEmil skrev :
@Stokastisk:
Det är meningen att man skulle fastna på det jag nyss gjorde och sedan se problemet, $\frac{- 5 x - 10}{x + 2} = \frac{- 5 (x + 2)}{x + 2} = - 5$ ?

Nu vet jag inte om jag missförstår dig, men jag vet inte om det är tänkt att man ska fastna just där.

Men iaf, det är korrekt att $\frac{-5x - 10}{x + 2} = -5$ , så kvoten blir alltså $x^2 - 5$ utan rest.

Svara

Visa senaste svar