Polynom utan extrempunkt eller terasspunkt

Noor Ismail skrev:

Hej, 

jag behöver hjälp med en uppgift(11 a). Jag vet inte vart jag ska börja, jag tror att om f’(x) aldrig är 0 kan det inte finnas nollställen därmed inga extrempunkter, men vet inte vad jag ska göra med den informationen.

Här är en bild på uppgiften:

All hjälp uppskattas!

Vad är derivatan av en femtegradsfunktion?

Smaragdalena skrev:

Noor Ismail skrev:

Hej, 

jag behöver hjälp med en uppgift(11 a). Jag vet inte vart jag ska börja, jag tror att om f’(x) aldrig är 0 kan det inte finnas nollställen därmed inga extrempunkter, men vet inte vad jag ska göra med den informationen.

Här är en bild på uppgiften:

All hjälp uppskattas!

Vad är derivatan av en femtegradsfunktion?

Om f(x)= x⁵ blir f’(x)=5x⁴

Ja, eller i allmännhet om f(x) är ett femtegradspolynom så är derivaran f'(x)  ett fjärdegradspolynom.

Kan du konstruera ett fjärdegradspolynom som har ett striktpositivt funktionevärde för alla värden på x? Det funkar inte med f(x)= x⁴, eftersom det blir 0 när x är 0.

Smaragdalena skrev:

Ja, eller i allmännhet om f(x) är ett femtegradspolynom så är derivaran f'(x)  ett fjärdegradspolynom.

Kan du konstruera ett fjärdegradspolynom som har ett striktpositivt funktionevärde för alla värden på x? Det funkar inte med f(x)= x⁴, eftersom det blir 0 när x är 0.

f(x)=x⁴+5

Bra förslag. Kan du hitta på en femtegradsfunktion som har denna derivata?

Smaragdalena skrev:

Bra förslag. Kan du hitta på en femtegradsfunktion som har denna derivata?

F(x)= (x⁵/5)+5x+1 

Går det?

Du vet väl hur du kan kolla det?

Smaragdalena skrev:

Du vet väl hur du kan kolla det?

Ja det stämde, men hur ska jag gå vidare?

Vad var det man frågar efter? Har du svarat på frågan?

Smaragdalena skrev:

Vad var det man frågar efter? Har du svarat på frågan?

Jag behöver fortfarande bevisa att hon har rätt/fel, ska jag göra samma sak för en fjärdegradsfunktion och jämföra?

Du har deriverat femtegradspolynomet och visat att det blir ett fjärdegradspolynom, du har hittat ett fjärdegradspolynom som aldrig har värdet 0 så derivatan är positiv hela tiden, alltså kan inte femtegradspolynomet ha vare sig någon extrempunkte eller någon terrasspunkt (för båda dessa krävs ju att derivatan är 0) så vad har du kvar? Du har faktiskt redan löst b-uppgiften också.

Smaragdalena skrev:

Du har deriverat femtegradspolynomet och visat att det blir ett fjärdegradspolynom, du har hittat ett fjärdegradspolynom som aldrig har värdet 0 så derivatan är positiv hela tiden, alltså kan inte femtegradspolynomet ha vare sig någon extrempunkte eller någon terrasspunkt (för båda dessa krävs ju att derivatan är 0) så vad har du kvar? Du har faktiskt redan löst b-uppgiften också.

Tack, jag tror jag förstått nu!