Polynom - rötter

För att faktorisera ett polynom på formen $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ så kan man testa att göra substitutionen $x=y-a/4$. I detta fall ska du alltså göra substitutionen $x=y+1$. Inga problem att expandera för hand för Bernoulli. Jag är lat och matar in detta i Wolfram alpha och får $f(y+1) = y^4 - 4y^2 + 7$. För att hitta rötterna till $y^4 - 4y^2 + 7$ kan vi göra en ny substitution $t=y^2$. Kan du gå vidare?

Varför de multiplicerar faktorerna har med kontexten att göra. Efter att ha googlat upp boken framgår följande:

1. Leibniz undrar om varje reellt fjärdegradspolynom kan skrivas som en produkt av reella polynom av första och/eller andra graden, och påstår att det finns fjärdegradspolynom som inte kan det.
2. Bernoulli påstår att $x^4 -4x^3 + 2x^2 +4x+4$ är ett sådant polynom.
3. Euler visar att det inte alls är ett sådant polynom, eftersom faktor 1 gånger faktor 3, och faktor 2 gånger faktor 4, ger två reella polynom. Alltså kan Bernoulli's polynom skrivas som en produkt av dessa två reella andragradspolynom.

EDIT: Här finns en beskrivning av hur Euler löste fjärdegradare, inklusive länk till hans eget publicerade material.

Skaft skrev:

Varför de multiplicerar faktorerna har med kontexten att göra. Efter att ha googlat upp boken framgår följande:

1. Leibniz undrar om varje reellt fjärdegradspolynom kan skrivas som en produkt av reella polynom av första och/eller andra graden, och påstår att det finns fjärdegradspolynom som inte kan det.
2. Bernoulli påstår att $x^4 -4x^3 + 2x^2 +4x+4$ är ett sådant polynom.
3. Euler visar att det inte alls är ett sådant polynom, eftersom faktor 1 gånger faktor 3, och faktor 2 gånger faktor 4, ger två reella polynom. Alltså kan Bernoulli's polynom skrivas som en produkt av dessa två reella andragradspolynom.

EDIT: Här finns en beskrivning av hur Euler löste fjärdegradare, inklusive länk till hans eget publicerade material.

Tack så mycket för era tips och förklaringar!