Polynom och rationella uttryck, faktorsatsen

Plugghingsten skrev:

"Polynomet $p\left(x\right)=x^5-10x^2+15x-6$ har nollstället $x=1$. Bestäm nollställets multiplicitet och faktorisera polynomet."

 

Ja, jag behöver hjälp här, steg för steg. Tack!

Har du lärt dig polynomdivision? Det är användbart (men det finns andra metoder också).

Smaragdalena skrev:

Plugghingsten skrev:

"Polynomet $p\left(x\right)=x^5-10x^2+15x-6$ har nollstället $x=1$. Bestäm nollställets multiplicitet och faktorisera polynomet."

 

Ja, jag behöver hjälp här, steg för steg. Tack!

Har du lärt dig polynomdivision? Det är användbart (men det finns andra metoder också).

Jag har försökt med polynomdivision och försöker gärna lösa uppgiften på det viset och inte m.h.a. faktorsatsen men jag skrev i rubriken att det tillhörde faktorsatsen då det tillhör den delen av kapitlet. Så här har jag skrivit och vet inte riktigt hur jag ska komma vidare :

Lösningen hittills, vad jag har försökt, är då $(x-1)(x^4+x^3+x^2-9x+6)$. 

Kolla om det går att dividera med x-1 en gång till,  och en gång till, ända tills det inte går längre.

Smaragdalena skrev:

Kolla om det går att dividera med x-1 en gång till,  och en gång till, ända tills det inte går längre.

Jag fick rest = 0 tre gånger. Efter det hade jag ett polynom $x^2+3x+6$. Allt stämmer! Hehe än en gång var det enklare än jag trodde. Tack @Smaragdalena!

Om jag hade velat lösa uppgiften m.h.a. faktorsatsen, hur skulle det se ut? Jag försöker läsa om den men förstår inte så mycket. 

Eftersom du har ett femtegradpolynom  från början, blir det en produkt av x-1 och ett fjärdegradspolynom ax⁴+bx³+cx²+dx+e. Multiplicera ihop de båda faktorerna (det börjar ax⁵+(b-a)x⁴+(c-b)x³ ... ) och jämför koefficienterna med varandra. Ursprungspolynomet var x⁵-10x²+15x-6, så vi får att a = 1 och  koefficienten för x⁴-termen, d v s b-a = 0 så b = -1. Fortsätt så tills du har fått fram alla koefficienter. 

Sedan har du ett fjärdegradspolynom som kan faktoriseras till x-1 och ett tredjegradspolynom  på samma sätt ...

Smaragdalena skrev:

Eftersom du har ett femtegradpolynom  från början, blir det en produkt av x-1 och ett fjärdegradspolynom ax⁴+bx³+cx²+dx+e. Multiplicera ihop de båda faktorerna (det börjar ax⁵+(b-a)x⁴+(c-b)x³ ... ) och jämför koefficienterna med varandra. Ursprungspolynomet var x⁵-10x²+15x-6, så vi får att a = 1 och  koefficienten för x⁴-termen, d v s b-a = 0 så b = -1. Fortsätt så tills du har fått fram alla koefficienter. 

Sedan har du ett fjärdegradspolynom som kan faktoriseras till x-1 och ett tredjegradspolynom  på samma sätt ...

$$\begin{gathered} c: (c-b)=0\iff (c-(-1\left)\right)=0\iff c=(-1) \\ d: (d-c)=(-10)\iff (d-(-1\left)\right)=(-10)\iff d=(-11) \\ e: (e-d)=15\iff (e-(-11\left)\right)=15\iff e=4 \end{gathered}$$

Härnäst då?

Hur ser fjärdegradspolynomet ut när du har sätt in värdena på alla konstanter? För säkerhets skull, multiplicera ihop fjärdegradspolynomet med (x-1) och kolla att det stämmer med ursprungspolynomet.

Smaragdalena skrev:

Hur ser fjärdegradspolynomet ut när du har sätt in värdena på alla konstanter? För säkerhets skull, multiplicera ihop fjärdegradspolynomet med (x-1) och kolla att det stämmer med ursprungspolynomet.

$p\left(x\right)=x^5-10x^2+15x-6=(x^4+x^3+x^2-9x+6)(x-1)$

Detta fick jag dock från liggande stolen.

Plugghingsten skrev:

Smaragdalena skrev:

Hur ser fjärdegradspolynomet ut när du har sätt in värdena på alla konstanter? För säkerhets skull, multiplicera ihop fjärdegradspolynomet med (x-1) och kolla att det stämmer med ursprungspolynomet.

 

$p\left(x\right)=x^5-10x^2+15x-6=(x^4+x^3+x^2-9x+6)(x-1)$

Detta fick jag dock från liggande stolen.

Om du vill ta reda på om polynomet  du har tagit fram genom att identifiera konstanterna är korrekt, är det naturligtvis det polynomet du skall multiplicera med (x-1), inte något annat!

Jag blandar ihop det...

Vi har polynomet $p\left(x\right)=x^5-10x^2+15x-6$ som har ett nollställe i $x=1$.

Vi får då $p\left(x\right)=x^5-10x^2+15x-6\iff p\left(x\right)=(x-1)q\left(x\right)$ där $q\left(x\right)=a{x}^5+b{x}^4+c{x}^2+dx+e$

$p\left(x\right)=(x-1)(a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e)=...=a{x}^5+(b-a)x^4+(c-b)x^3+(d-c)x^2+(e-d)x-e$

$\left\{\begin{array}{ll}a=1& a=1\\ b-a=0\iff b-1=0& b=1\\ c-b=0\iff c-1=0& c=1\\ d-c=(-10)\iff d-1=(-10)& d=(-9)\\ e-d=15\iff e-(-9)=15& e=24\end{array}\right.$

Är det rätt uppfattat och utfört av mig hittills?

För säkerhets skull, förenkla HL på första raden och komma så att det stämmer.  

Om multiplikationen stämmer när du multiplicerar ditt färdiga fjärdegradspolynom med (x-1) har du gjort rätt, annars inte.

Jag föredrar polynomdivision.