Polynom och matriser
Hej, nu skulle jag behöva lite hjälp med 2.25. Jag har inte kommit någonstans, för jag förstår inte vad det innebär att man har ett polynom och sedan en kvadratisk matris. Jag känner ju t ex till beteckningen p(x) och att man kan sätta in olika värden på x för att beräkna polynomets värde, men jag förstår inte hur man kan sätta in en matris… och än mindre hur jag kan visa att A är inverterbar.
Eller är det egentligen bara att ta matrisen i kvadrat och multiplicera med något tal och lite i den stilen? Men hur hjälper det mig att visa att A är inverterbar?
Ja, alla multiplikationer och additioner som du kan göra med vanliga tal kan du göra med kvadratiska matriser också, så polynom kan användas med båda.
Du vill hitta en matris B sådan att AB = 1. Du vet att A3-3A2+7A+5 = 0. Vi vill ha en konstant 1, och vi har konstanten 5 där, så vi kan skriva om så här först: A3-3A2+7A = -5.
Räcker ledtråden?
(Man får tänka på att när vi har matriser så betyder uttryckliga tal, t.ex. 1, en matris, nämligen enhetsmatrisen. 5 är 5 gånger enhetsmatrisen, så C+5 betyder inte att talet 5 läggs till alla element i C. Det kanske går bra även om man inte tänker på det.)
Tack!
Jag vet inte riktigt vad jag har gjort, men visar det i alla fall så jag kanske kan få lite ytterligare hjälp.
Jag är med på att A är inverterbar ifall det finns en matris B sådan att AB= E (enhetsmatrisen). Man jag förstår inte hur jag ska hitta B/utnyttja att jag kan försöka att hitta konstanten 1.
A3-3A2+7A = -5.
A3-3A2+7A+1 = -4.
Nu är det en etta där men det var förmodligen inte det du menade att jag skulle göra.
Jag behöver mer hjälp…
Nästa steg är att dela allt med -5 i det jag skrev.
Ja, det var lite det jag försökte mig på i bilden, men det kanske blev fel.
Jag förstår inte riktigt, men skulle man kunna lösa ut A och sedan tänka att -1/5 * A * det som står i parentesen är lika med enhetsmatrisen, och att det därmed finns en invers till A?
Det som jag skrev ovan hjälper väl dock inte riktigt? Jag vill ju få att A gånger något (som bara finns på ena sidan om A) ska vara lika med enhetsmatrisen.
Jag är förvirrad
Du kanske menar rätt, men du får gärna visa med formler också.
Att det finns en invers skulle du visa först, enligt uppgiften.
Ja, jag ställde nog min fråga lite dåligt, för behöver hjälp med den första delen av uppgiften också. Jag vet inte hur jag kan visa att det finns en invers.
Vi kan fortsätta med det specifika polynomet, för det framgår sedan hur det allmänna fallet fungerar.
Vi hade A3-3A2+7A = -5.
Jag föreslog att dela allt med -5. Vad får du då?
Just precis.
Nu kan vi tänka på det allmänna fallet, som de frågar efter, alltså att det finns en invers med de beskrivna villkoren. Kan man alltid göra på det här viset?
Ja, det antar jag, så länge man kan bryta ut A? (Vilket alltid går?)
