Polynom med hjälp av en värdetabell

Börja med att förklara vad det är du har gjort och varför. Jag förstår ingenting!

Om du tittar på siffrorna, så ser du kanske att var och en av dem är 1 mer än... ja, vadå? Alternativt - titta på differensen mellan funktionsvärdena, och sedan på differensen mellan differenserna och så vidare.

Jo, men det förstår man väl? Ett generellt sätt att lösa problemet är att ansätta ett polynom med fyra parametrar, och sen lösa ekvationssystemet.

Men som Smaragdalena antyder, man kan se ett enkelt samband mellan talen, så att man kan skriva upp polynomet direkt. Det visar sig att det inte behövs ett tredjegradspolynom.

Det går som sagt rätt lätt att få fram polynomet genom att bara inse att P(x) är ett mer än en kvadrat.
Men om man nu istället vill lösa det med ekvationssystem kommer här ett lösningsförslag. Det finns andra sätt att lösa dessa ekvationssystemet på men jag vet inte om de tillhör matte 3.

(1)    a+b+c+d=2
(2)    8a+4b+2c+d=5
(3)    27a+9b+3c+d=10
(4)    64a+16b+4c+d=17

(2)-(1)  ger
(5)      7a+3b+c=3

(3)-(2) ger   
(6)      19a+5b+c=5

(4)-(3)  ger
(7)      37a+7b+c=7

(6)-(5)   ger
(8)      12a+2b=2

(7)-(6)   ger
(9)      18a+2b=2

(9)-(8)   ger
6a=0         -> a=0
sätt in a=0  i  (9)   ger b=1
sätt in a=0, b=1   i  (8)  ger c=0
sätt in a=0, b=1, c=0  i (1) ger d=1

Så,   f(x)=x^2+1

Som sagt, det finns andra sätt men det här var ett.

Hur kan det vara en andragradsekvation? Borde det inte vara 3 gradsekvation för vi har 4 st angivna tal i tabellen?

Du kan ange hur många värden du vill som ligger på en rät linje, exempelvis. Man behöver minst 2 punkter för att entydigt ange en förstagradsfunktion (rät linje), minst tre för att entydigt ange en andragradsfunktion (parabel), minst fyra för att ange en tredjegradsfunktion. Alla de fyra punkterna i uppgiften ligger på samma parabel.

Man kan se det som att det inte finns något principiellt hinder för att a i ansatsen kan bli 0.

Man ska alltså kunna konstanterna med hjälp av de 4 angivna x och y värden att det ska vara en tredjegradsekvation. 

Jag vet inte riktigt om jag ska svara ja eller nej. Du kan ansätta ett tredjegradspolynom, men om första termen är noll så är resultatet ett andragradspolynom, inte tredjegradspolynom.

Okej.... Men hur ska man direkt kunna inse att man ska sätta in de angivna x och y värden i 

ax^3+bx^2+cx+d=f(x) ? 
Varför kan det lika enkelt inte vara så att man istället sätter in talen i det här uttrycket istället?

x^2+bx + c=y

Det finns några knep du kan ta till, men du behöver inte kunna dem. Du kan istället göra så här:

• Pröva med ett förstagradspolynom $p(x)=ax+b$. Sätt upp sambanden som då måste gälla. Får du till några värden på $a$ och $b$ så att det går ihop?

Om inte:

• Pröva med ett andragradspolynom $p(x)=ax^2+bx+c$. Sätt upp sambanden som då måste gälla. Får du till några värden på $a$, $b$ och $c$ så att det går ihop?

Om inte:

• Pröva med ett tredjegradspolynom $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ o.s.v.