Polynom faktorisering

Hej!

Jag gjorde lite revisioner i morse och stött på en uppgift som krävde lite tid.

$A n d r a g r a d s p o l y n o m e t 6 x^{2} + x - 1 k a n i f a k t o r f o r m s k r i v a s (a x + b) (c x + d) . B e s t ä m h e l t a l e n a, b, c o c h d o m a < c o c h b > d .$

Jag fick fram först nollställena som var -1/2 och 1/3, och från dess insåg jag (efter ett tag!) att den enna behövdes en 2an och den andra en 3an för att ''må bra'' och bli en heltal. Som tur hade jag en 6:an att distribuera.

Det var rätt men inte så proffsigt. Hur gör jag, matematiskt?

Edit: OBS att efter att jag har skrivit detta kom jag på ett enklare sätt. Kolla nästa inlägg.

Du kan till exempel börja med att multiplicera ihop så här:

$(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + a d x + b c x + b d = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$

Om det är lika med ditt andragradspolynom så gäller:

$a c = 6 a d + b c = 1 b d = - 1$

Det kan du använda i kombination med nollställena och de andra villkoren i uppgiften.

Ninjaedit: SvanteR:s lösning är bättre.

Nu kom jag på ett enklare sätt. Du har ju hittat nollställena. Då vet du att:

$a \times \frac{1}{3} + b = 0 c \times (- \frac{1}{2}) + d = 0$

Använd det och villkoren för att välja heltal.

Snyggt och enkelt, allt man gillar :)!

Ojdå vänta nu :). Men hur vet jag vilket är A?

Om jag utvecklar (ax+b)*(cx+d) det ger mig väl acx^2, hur tar jag ut a?

Samma för den andra ekvationen, hur gör jag för att isolera c och d?

*** Lösning ***

$6 x^{2} + x - 1 : \Leftrightarrow 6 \cdot {(x^{2} + \frac{x}{6} - \frac{1}{6})}^{(*)}; i) B r y t e r u t f a k t o r 6; i n n e s t å e n d e p o l y n o m ä r e k v i v a l e n t m e d n o l l f ö r \exists x_{1}, x_{2} \in D_{f} \{6 x^{2} + x - 1\}; D ä r a v, u t t r y c k s l ö s n i n g a r n a i f o r m : (x^{2} + \frac{x}{6} - \frac{1}{6}) = (x \pm x_{1}) (x \pm x_{2}); " p l u s - m i n u s, m o t i v e r a s f ö r a t t v i i n t e h a r l ö s t f ö r x ä n n u)^{(*)} L ö s e s : (x^{2} + \frac{x}{6} - \frac{1}{6}) = 0, f ö r : x_{1} = - \frac{1}{2} \land x_{2} = \frac{1}{3}; ∴ (x^{2} + \frac{x}{6} - \frac{1}{6}) \Leftrightarrow (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}); O b s e r v e r a r a t t : 6 x^{2} + x - 1 \Leftrightarrow 6 \cdot (x^{2} + \frac{x}{6} - \frac{1}{6}) \Leftrightarrow 6 \cdot (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}); i i) E f t e r s o m r e s p e k t i v e t a l a, b, c & d ä r h e l t a l i u t v e c k l i g e n, i m p l i c e r a r d e t t a a t t v i m å s t e s e t i l l a t t " - \frac{1}{2} " & " \frac{1}{3} " t e r m e r n a b l i r t i l l h e l t a l g e n o m m u l t i p l i c a t i o n a v t v å a r b i t r a r y t a l t i l l t a l e t' 6', d . v . s k o e f f i c i e n t e n t i l l e k v i v a l e n s e n i i) . 6 : = a_{1} \cdot a_{2} N u m å s t e v i b e s t ä m m a k o e f f i c i e n t e n s f a k t o r e r n u m e r i s k t, d e t g å r i n t e g ö r a e n l . S v a n t e R' s s ä t t f ö r d e t l e d e r t i l l e t t u n d e r b e s t ä m t e k v a t i o n s s y s t e m (4 v a r i a b l e r, 3 v ä r d e n s o m a n t a s) H u r m a n l ö s e r d e s s a e k v . s y s t e m l ä r d u d i g p å K T H e f t e r d u g e n o m f ö r t g y m n a s i e t m e d b r a b e t y g . V i s e r d å d i r e k t a t t " e n k l a s t " v ä r d e n p å a_{1} & a_{2} g e s a v; a_{1} = 2, a_{2} = 3 (d e t f i n n s e g e n t l i g e n i n g a a n d r a f a k t o r e r) 6 : = 2 \cdot 3 ∴ 6 \cdot (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) \Leftrightarrow (2 \cdot 3) \cdot (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) \Leftrightarrow 2 \cdot (x + \frac{1}{2}) \cdot 3 \cdot (x - \frac{1}{3}) \Leftrightarrow (2 x + 1) (3 x - 1); K O N T R O L L : (2 x + 1) (3 x - 1) \Leftrightarrow 2 x \cdot 3 x + 3 x - 2 x - 1 = 6 x^{2} + x - 1 □ K O N T R O L L : i f o r m e n (a x + b) (c x + d) g e s d å a = 2 b = 1 c = 3 d = - 1 a < c : 2 < 3 O K! b > d : 1 > - 1 O K!$

Ok, nu ser jag att mitt "enklare" sätt inte var fullt genomtänkt. Det går inte att få ihop det med dina villkor. Om jag hade bytt plats på a och c och på b och d så hade det funkat, men nu valde jag fel, och då går det inte.

Vi får börja med villkoren i mitt första inlägg i stället:

Du vet att det ska vara heltal. Och att a < c.

Om ac = 6 så finns det inte så många alternativ. Antingen a = 1 och c = 6 eller a = 2 och c = 3. Inga andra tal stämmer med villkoren.

Men om a=1 så blir ax + b = x + b

Och för ett av nollställena ska x + b = 0 gälla. Men b ska vara ett heltal, så det går inte.

Däremot går det om a = 2. Då ska 2x + b = 0, och det funkar för nollstället -1/2, om b =1

Då har du a = 2, c = 3, b = 1 och räknar lätt ut d

Edit. Jag struntade i negativa heltal helt. Men det finns negativa lösningar också.

Du kan inte lösa ett uppsatt ekvationssystem för det är underbestämt! Det finns 4 okända variabler vars förhandenvarande aritmetiska kombinationer tilldelas tre numeriska värden. Du kan endast få ut förhållanden mellan variablerna, det är därför du har fastnat! Se min lösning

Kort sagt: Jag tycker det ser ut som om du hittade en enklaste och mest eleganta lösningen, Daja!

Du kom fram till att $6 x^{2} + x - 1 = 6 (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ och multiplicerade in 2 respektive 3 i parenteserna, så att det blev (3x+1)(3x-1). Tur att du råkade ta nollställena i den ordningen!

Tack alihoppa!

@Smaragdalena: det ståd i uppgiften att d var mindre än b, därför placerade jag dom så. Jag vet inte om det var elegant, men tack :)

@Svante och Aiyangar: jag ska köra en blandning av era lösningar:). Leta först efter nollställena, isolera den faktoren framför $x^{2}$ och lista ut alla möjliga faktorer för den.

Andra dead end lösningsmetod jag har provat: negativa faktorer men isf b och d bytter plats... samt $(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + a d x + b c x + b d = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ men det blev många okända :)

Det ekvationssystemet som du gör genom utvecklingen $(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + a d x + b c x + b d = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ är olösbart! Det är ett underbestämt ekvationssystem. Det är därför du upplever det som svårlöst - det är för att det är olösbart för specifika/fixerade värden för variablerna. Det finns flera lösningar alltså, vilka då måste matcha och mixas mot givna villkor i uppgiften för att lösa problemet.

Hur man löser sådana ekvationssystem ingår inte djupgående i gymnasiematematiken över huvudtaget, utan det är något du lär dig första året på något av civilingenjörsprogrammen på KTH.

Jag tycker inte att du ska blanda SvanteR's och min lösning. Se min lösning, och försök att förstå resonemanget. Du vinner betydligt mer på att lära dig och förstå det du räknar på, att bli bättre på att resonera dig fram till olika möjligheter för att lösa problem - än att bara föra formler/deducera samband och se om det blir rätt.

Jag kan hålla med Smaragdalena om att din ursprungliga lösning är den enklaste, men du behöver bli bättre att motivera dina beräkningar. Det är en stor skillnad mellan att antaga och resonera med angivna villkor, och chansa fritt. Jag skulle säga att du fortsätter räkna som du ursprungligen gjort, men att du reflekterar mer.

Jaja jag förstår din lösning, du görde samma sak som jag men mycket mer metodisk, eftersom jag hoppade direkt till lösningen som jag kände vare den rätta.

Svara

Visa senaste svar