polynom algebra (Matematik/Universitet)

Har du kommit fram till vilken grad polynomet $p(x)$ har?

I så fall kan du ju sätta $p(x)$ lika med ett generellt polynom (koefficienter $a$ , $b$ , $c$ ...) och sedan sätta in i likheten du har.

AlvinB skrev:
Har du kommit fram till vilken grad polynomet $p(x)$ har?
I så fall kan du ju sätta $p(x)$ lika med ett generellt polynom (koefficienter $a$ , $b$ , $c$ ...) och sedan sätta in i likheten du har.

vet inte hur jag ska komma fram till vilken grad polynomet p(x) har har fastnat där.

Vi behöver förstå hur graden ändras när vi stoppar in ett polynom i sig självt (alltså $p(p(x))$ ). Om vi exempelvis har ett andragradspolynom $p(x)=x^2+1$ kommer $p(p(x))=(x^2+1)^2+1$ att ha graden fyra, eftersom $x^2$ -termer upphöjt till $2$ blir $x^4$ -termer. Mer allmänt kan vi säga att termen med störst exponent är $x^d$ kommer $p(p(x))$ :s största exponent att vara $x^{d^2}$ eftersom $\left(x^d\right)^d=x^{d^2}$ .

Om graden hos $p(x)$ är $d$ blir graden hos $p(p(x))$ alltså $d^2$ . Om graden hos $p(p(x))$ är $d^2$ , vad är då graden hos $p(p(x))+p(x)$ ? Du kan sedan bestämma $d$ då du vet att graden av $p(p(x))+p(x)$ skall vara $4$ .

AlvinB skrev:
Vi behöver förstå hur graden ändras när vi stoppar in ett polynom i sig självt (alltså $p(p(x))$ ). Om vi exempelvis har ett andragradspolynom $p(x)=x^2+1$ kommer $p(p(x))=(x^2+1)^2+1$ att ha graden fyra, eftersom $x^2$ -termer upphöjt till $2$ blir $x^4$ -termer. Mer allmänt kan vi säga att termen med störst exponent är $x^d$ kommer $p(p(x))$ :s största exponent att vara $x^{d^2}$ eftersom $\left(x^d\right)^d=x^{d^2}$ .
Om graden hos $p(x)$ är $d$ blir graden hos $p(p(x))$ alltså $d^2$ . Om graden hos $p(p(x))$ är $d^2$ , vad är då graden hos $p(p(x))+p(x)$ ? Du kan sedan bestämma $d$ då du vet att graden av $p(p(x))+p(x)$ skall vara $4$ .

hänger med lite om p(x) är d och p(p(x)) är d^2 blir det då d+d^2=4?

Hej!

Om du deriverar polynomet med hjälp av Kedjeregeln får du följande polynom.

$(p'(p(x)) + 1)\cdot p'(x) = 4x^3+6x = (2x^2+3)\cdot 2x.$

Om $p'(x) = 2x$ så blir $p(x) = x^2+c$ och $p'(p(x))+1 = 2p(x)+1=2x^2+(2c+1)$ så man bör välja konstanten $c=1$ .

Kontrollera att polynomfunktionen $p(x)=x^2+1$ uppfyller den ursprungliga polynomekvationen.

bananis98 skrev:
AlvinB skrev:
[...]
hänger med lite om p(x) är d och p(p(x)) är d^2 blir det då d+d^2=4?

Nej. Faktum är att graden av $p(p(x))+p(x)$ är samma som $p(p(x))$ , d.v.s. $d^2$ . Detta eftersom addition av ett polynom med samma eller lägre grad inte förändrar polynomets gradtal. Pröva att addera $x^2+2x+3$ med $x+5$ och se att gradtalet blir $2$ , inte $3$ .

Du får alltså ekvationen $d^2=4$ .

AlvinB skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:
[...]
hänger med lite om p(x) är d och p(p(x)) är d^2 blir det då d+d^2=4?
Nej. Faktum är att graden av $p(p(x))+p(x)$ är samma som $p(p(x))$ , d.v.s. $d^2$ . Detta eftersom addition av ett polynom med samma eller lägre grad inte förändrar polynomets gradtal. Pröva att addera $x^2+2x+3$ med $x+5$ och se att gradtalet blir $2$ , inte $3$ .
Du får alltså ekvationen $d^2=4$ .

så är svaret 2?

Gradtalet för $p(x)$ är $2$ , ja.

Nu kan du alltså ansätta $p(x)=ax^2+bx+c$ och stoppa in i ekvationen.

AlvinB skrev:
Gradtalet för $p(x)$ är $2$ , ja.
Nu kan du alltså ansätta $p(x)=ax^2+bx+c$ och stoppa in i ekvationen.

i den här ekvationen p(p(x))+p(x)=x^4+3x^2+3 ?

Ja.

AlvinB skrev:
Ja.

blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?

bananis98 skrev:
AlvinB skrev:
Ja.
blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?

Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?

Laguna skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:
Ja.
blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?
Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?

Försökte lösa det med det blev helt fel

bananis98 skrev:
Laguna skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:
Ja.
blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?
Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?
Försökte lösa det med det blev helt fel

Visa steg för steg hur du har försökt så kan vi hjälpa dig att hitta var det har gått fel.

Smaragdalena skrev:
bananis98 skrev:
Laguna skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:
Ja.
blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?
Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?
Försökte lösa det med det blev helt fel
Visa steg för steg hur du har försökt så kan vi hjälpa dig att hitta var det har gått fel.

Jag har tänkt så här Om p(x) är av grad n är p(p(x)) av grad 2n. p(x) måste då vara av grad 2 så p(x) = x^2 + bx + c. Exempelvis blir då
p(p(x)) = (x^2 + bx + c)^2 + b(x^2 + bx + c) + c. Det som kvarstår är väl uträkning?

bananis98 skrev:
Smaragdalena skrev:
bananis98 skrev:
Laguna skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:
Ja.
blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?
Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?
Försökte lösa det med det blev helt fel
Visa steg för steg hur du har försökt så kan vi hjälpa dig att hitta var det har gått fel.
Jag har tänkt så här Om p(x) är av grad n är p(p(x)) av grad 2n. p(x) måste då vara av grad 2 så p(x) = x^2 + bx + c. Exempelvis blir då
p(p(x)) = (x^2 + bx + c)^2 + b(x^2 + bx + c) + c. Det som kvarstår är väl uträkning?

Japp.