16 svar
193 visningar
bananis98 behöver inte mer hjälp
bananis98 268 – Fd. Medlem
Postad: 22 jul 2019 18:40

polynom algebra

För vilka polynom p(x) gäller att p(p(x))+p(x)=x^4+3x^2+3 för alla reella x?

har tänkt följande Låt deg p(x)=d. Bestäm graden av polynomet i VL och bestäm därefter d men vet inte hur jag ska gå vidare efter det

AlvinB 4014
Postad: 22 jul 2019 18:44

Har du kommit fram till vilken grad polynomet p(x)p(x) har?

I så fall kan du ju sätta p(x)p(x) lika med ett generellt polynom (koefficienter aa, bb, cc...) och sedan sätta in i likheten du har.

bananis98 268 – Fd. Medlem
Postad: 22 jul 2019 18:48
AlvinB skrev:

Har du kommit fram till vilken grad polynomet p(x)p(x) har?

I så fall kan du ju sätta p(x)p(x) lika med ett generellt polynom (koefficienter aa, bb, cc...) och sedan sätta in i likheten du har.

vet inte hur jag ska komma fram till vilken grad polynomet p(x) har har fastnat där.

AlvinB 4014
Postad: 22 jul 2019 19:00 Redigerad: 22 jul 2019 19:01

Vi behöver förstå hur graden ändras när vi stoppar in ett polynom i sig självt (alltså p(p(x))p(p(x))). Om vi exempelvis har ett andragradspolynom p(x)=x2+1p(x)=x^2+1 kommer p(p(x))=(x2+1)2+1p(p(x))=(x^2+1)^2+1 att ha graden fyra, eftersom x2x^2-termer upphöjt till 22 blir x4x^4-termer. Mer allmänt kan vi säga att termen med störst exponent är xdx^d kommer p(p(x))p(p(x)):s största exponent att vara xd2x^{d^2} eftersom xdd=xd2\left(x^d\right)^d=x^{d^2}.

Om graden hos p(x)p(x) är dd blir graden hos p(p(x))p(p(x)) alltså d2d^2. Om graden hos p(p(x))p(p(x)) är d2d^2, vad är då graden hos p(p(x))+p(x)p(p(x))+p(x)? Du kan sedan bestämma dd då du vet att graden av p(p(x))+p(x)p(p(x))+p(x) skall vara 44.

bananis98 268 – Fd. Medlem
Postad: 22 jul 2019 19:07
AlvinB skrev:

Vi behöver förstå hur graden ändras när vi stoppar in ett polynom i sig självt (alltså p(p(x))p(p(x))). Om vi exempelvis har ett andragradspolynom p(x)=x2+1p(x)=x^2+1 kommer p(p(x))=(x2+1)2+1p(p(x))=(x^2+1)^2+1 att ha graden fyra, eftersom x2x^2-termer upphöjt till 22 blir x4x^4-termer. Mer allmänt kan vi säga att termen med störst exponent är xdx^d kommer p(p(x))p(p(x)):s största exponent att vara xd2x^{d^2} eftersom xdd=xd2\left(x^d\right)^d=x^{d^2}.

Om graden hos p(x)p(x) är dd blir graden hos p(p(x))p(p(x)) alltså d2d^2. Om graden hos p(p(x))p(p(x)) är d2d^2, vad är då graden hos p(p(x))+p(x)p(p(x))+p(x)? Du kan sedan bestämma dd då du vet att graden av p(p(x))+p(x)p(p(x))+p(x) skall vara 44.

hänger med lite om p(x) är d och p(p(x)) är d^2 blir det då d+d^2=4?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 22 jul 2019 19:15

Hej!

Om du deriverar polynomet med hjälp av Kedjeregeln får du följande polynom.

    (p'(p(x))+1)·p'(x)=4x3+6x=(2x2+3)·2x.(p'(p(x)) + 1)\cdot p'(x) = 4x^3+6x = (2x^2+3)\cdot 2x.

Om p'(x)=2xp'(x) = 2x så blir p(x)=x2+cp(x) = x^2+c och p'(p(x))+1=2p(x)+1=2x2+(2c+1)p'(p(x))+1 = 2p(x)+1=2x^2+(2c+1) så man bör välja konstanten c=1c=1.

Kontrollera att polynomfunktionen p(x)=x2+1p(x)=x^2+1 uppfyller den ursprungliga polynomekvationen.

AlvinB 4014
Postad: 22 jul 2019 19:32 Redigerad: 22 jul 2019 19:33
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:

[...]

hänger med lite om p(x) är d och p(p(x)) är d^2 blir det då d+d^2=4?

Nej. Faktum är att graden av p(p(x))+p(x)p(p(x))+p(x) är samma som p(p(x))p(p(x)), d.v.s. d2d^2. Detta eftersom addition av ett polynom med samma eller lägre grad inte förändrar polynomets gradtal. Pröva att addera x2+2x+3x^2+2x+3 med x+5x+5 och se att gradtalet blir 22, inte 33.

Du får alltså ekvationen d2=4d^2=4.

bananis98 268 – Fd. Medlem
Postad: 22 jul 2019 19:42
AlvinB skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:

[...]

hänger med lite om p(x) är d och p(p(x)) är d^2 blir det då d+d^2=4?

Nej. Faktum är att graden av p(p(x))+p(x)p(p(x))+p(x) är samma som p(p(x))p(p(x)), d.v.s. d2d^2. Detta eftersom addition av ett polynom med samma eller lägre grad inte förändrar polynomets gradtal. Pröva att addera x2+2x+3x^2+2x+3 med x+5x+5 och se att gradtalet blir 22, inte 33.

Du får alltså ekvationen d2=4d^2=4.

så är svaret 2?

AlvinB 4014
Postad: 22 jul 2019 19:57

Gradtalet för p(x)p(x) är 22, ja.

Nu kan du alltså ansätta p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax^2+bx+c och stoppa in i ekvationen.

bananis98 268 – Fd. Medlem
Postad: 22 jul 2019 20:08
AlvinB skrev:

Gradtalet för p(x)p(x) är 22, ja.

Nu kan du alltså ansätta p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax^2+bx+c och stoppa in i ekvationen.

i den här ekvationen p(p(x))+p(x)=x^4+3x^2+3 ?

AlvinB 4014
Postad: 22 jul 2019 20:32

Ja.

bananis98 268 – Fd. Medlem
Postad: 22 jul 2019 20:36
AlvinB skrev:

Ja.

blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?

Laguna Online 30479
Postad: 22 jul 2019 20:48
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:

Ja.

blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?

Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?

bananis98 268 – Fd. Medlem
Postad: 12 okt 2019 11:58
Laguna skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:

Ja.

blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?

Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?

Försökte lösa det med det blev helt fel

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 12 okt 2019 12:35
bananis98 skrev:
Laguna skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:

Ja.

blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?

Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?

Försökte lösa det med det blev helt fel

Visa steg för steg hur du har försökt så kan vi hjälpa dig att hitta var det har gått fel.

bananis98 268 – Fd. Medlem
Postad: 17 dec 2019 16:33
Smaragdalena skrev:
bananis98 skrev:
Laguna skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:

Ja.

blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?

Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?

Försökte lösa det med det blev helt fel

Visa steg för steg hur du har försökt så kan vi hjälpa dig att hitta var det har gått fel.

Jag har tänkt så här Om p(x) är av grad n är p(p(x)) av grad 2n. p(x) måste då vara av grad 2 så p(x) = x^2 + bx + c. Exempelvis blir då
p(p(x)) = (x^2 + bx + c)^2 + b(x^2 + bx + c) + c. Det som kvarstår är väl uträkning?

Laguna Online 30479
Postad: 17 dec 2019 17:38
bananis98 skrev:
Smaragdalena skrev:
bananis98 skrev:
Laguna skrev:
bananis98 skrev:
AlvinB skrev:

Ja.

blir det p(p(x)) + ax^2+bx+c= x^4+3x^2+3?

Ja, men du får expandera färdigt uttrycket. p(p(x)) = p(ax^2+bx+c). Vad blir det?

Försökte lösa det med det blev helt fel

Visa steg för steg hur du har försökt så kan vi hjälpa dig att hitta var det har gått fel.

Jag har tänkt så här Om p(x) är av grad n är p(p(x)) av grad 2n. p(x) måste då vara av grad 2 så p(x) = x^2 + bx + c. Exempelvis blir då
p(p(x)) = (x^2 + bx + c)^2 + b(x^2 + bx + c) + c. Det som kvarstår är väl uträkning?

Japp.

Svara
Close