11 svar
158 visningar
JnGn behöver inte mer hjälp
JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2017 17:54

polynom

Hej

jag har fastnat på följande uppgift och skulle behöva lite hjälp:

Bestäm lösningarna till olikheten:

12x4+17x3-22x2-13x+6>0

Sedan fick jag av uppgiften tipset att leta heltalsnollställen till polynomet.

Jag började med polynomdivision och fick fram två rötter: (x-1) och (x+2) men de övriga två rötterna har jag problem med att få fram.

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2017 17:57

Vad får du om du delar polynomet med

(x-1)(x+2)=x2+x-2 (x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 1 okt 2017 18:03 Redigerad: 1 okt 2017 18:03
JnGn skrev :

Hej

jag har fastnat på följande uppgift och skulle behöva lite hjälp:

Bestäm lösningarna till olikheten:

12x4+17x3-22x2-13x+6>0

Sedan fick jag av uppgiften tipset att leta heltalsnollställen till polynomet.

Jag började med polynomdivision och fick fram två rötter: (x-1) och (x+2) men de övriga två rötterna har jag problem med att få fram.

Om x = 1 och x = -2 är polynomets nollställen så gäller att (x - 1) och (x - 2) är faktorer i polynomet.

Dvs p(x) = 12x^4 + 17x^3 - 22x^2 - 13x + 6 kan skrivas som (x - 1)(x - 2)*q(x), där q(x) är ett polynom med ett gradtal som är två lägre än p(x). Dvs q(x) är ett andragradspolynom.

Du kan finna q(x) genom polynomdivision av p(x) (q(x) = p(x)/((x - 1)(x - 2)) eller genom att ansätta q(x) = ax^2 + bx + c, multiplicera ihop detta med (x - 1)(x - 2) och identifiera termer.

Den resulterande produkten (x - 1)(x - 2)(ax^2 + bx + c) är ju lika med 12x^4 + 17x^3 - 22x^2 - 13x + 6.

(x - 1)(x - 2)(ax^2 + bx + c) = 12x^4 + 17x^3 - 22x^2 - 13x + 6

Identifiera nu termer, vilket innebär att:

  • Antalet x^4-termer i VL ska vara lika många som antalet x^4-termer i HL
  • Antalet x^3-termer i VL ska vara lika många som antalet x^3-termer i HL
  • Antalet x^2-termer i VL ska vara lika många som antalet x^2-termer i HL
  • Antalet x-termer i VL ska vara lika många som antalet x-termer i HL
  • Antalet konstanttermer i VL ska vara lika många som antalet konstanttermer i HL

Detta ger dig ekvationer som ger värden på a, b och c.

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2017 18:41

jag fick att om man delar med (x-1)(x+2)=x^2+x-2 så fick jag övriga två termerna (3x-1) och (4x+3)

Vi kan då faktorisera polynomet som (x-1)(x+2)(3x-1)(4x+3)

Av det kan vi då få fram nollställena till x=1, x=-2, x=1/3 samt x=-4/3

Det jag blir osäker på är att i uppgiften har vi ju inte en ekvation av typen =0 utan en olikhet >0 så ska dessa värden på x vara det slutliga svaret?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2017 18:43

Nej, detta är inte det slutliga svaret. Du ska alltså ta fram de x som gör att olikheten är uppfylld.

Vilket tecken har polynomet mellan varje rot?

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 1 okt 2017 18:47
JnGn skrev :

jag fick att om man delar med (x-1)(x+2)=x^2+x-2 så fick jag övriga två termerna (3x-1) och (4x+3)

Vi kan då faktorisera polynomet som (x-1)(x+2)(3x-1)(4x+3)

Av det kan vi då få fram nollställena till x=1, x=-2, x=1/3 samt x=-4/3

Det jag blir osäker på är att i uppgiften har vi ju inte en ekvation av typen =0 utan en olikhet >0 så ska dessa värden på x vara det slutliga svaret?

Nej. Du har hittat de värden på x för vilka polynomet är lika med 0.

Det betyder att utanför och mellan dessa värden har polynomet värden som antingen är > 0 eller < 0.

Det enklaste är att du helt enkelt delar in x-axeln i intervaller och kollar polynomets värde i alla intervall.

Eftersom du har 4 nollställen så blir det endast 5 intervall att kontrollera.

Och det räcker ju att kolla ett värde i varje intervall.

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2017 21:21

jag får enligt min teckentabell att funktionen är större än 0 då -34<x<13samt då 1<x

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 1 okt 2017 21:26 Redigerad: 1 okt 2017 21:27
JnGn skrev :

jag får enligt min teckentabell att funktionen är större än 0 då -34<x<13samt då 1<x

Eftersom x^4-termen dominerar över de andra då x är långt från origo och denna term har en positiv koefficient så borde polynomet vara större än noll även för de x som ligger långt bort på den negativa sidan, dvs då x < -2.

Hängde du med på det?

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2017 21:58

jag är med på att då x^4 är positiv så innebär det ju att en stor del av funktionen är positiv eftersom det är den absolut största termen.

Sätter man exempelvis x=-2 får vi 12(-2)4+17(-2)3-22(-2)2-13(-2)+6=0

väljer man istället x=-3 får vi värdet 360 på funktionen och vid positivt värde på x exempelvis 2 får vi 220

så kan man konstatera att funktionen alltid är lika med eller större än noll?

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 1 okt 2017 22:22 Redigerad: 1 okt 2017 22:25
JnGn skrev :

så kan man konstatera att funktionen alltid är lika med eller större än noll?

Nej.

Polynomets värde är större än noll i intervallen

  • x < -2
  • -3/4 < x < 1/3
  • x > 1

I de andra två intervallen är polynomets värde mindre än noll.

JnGn 280 – Fd. Medlem
Postad: 2 okt 2017 09:00

okej så svaret blir då att olikheten är uppfylld för x<-2, -3/4<z<1/3, x>1

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 2 okt 2017 09:11

Ja det stämmer.

Svara
Close