Polynom

$ax^n+bx^{n-1}+c$, är ett polynom av grad n.

Multiplicera polynomet med $x^p$, så att termen med högsta gradtal är 3. Vad ska p vara i så fall?

Förstår tyvärr inte

vet du vad som menas med "graden av ett polynom"?

Ja, termen med störst exponent i polynomet. Men jag förstår inte frågan eller hur jag ska gå till väga för att lösa den! :)

n kan inte vara vad som helst. Ta t. ex. fallet n = 1 först. 

vad är det man ska multiplicera i polynomet? Är det a och b och c?

dr_lund har redan hjälpt dig en bit på väg där. Polynomet ska multipliceras med någon potens av x.

Jag gillar inte den här uppgiften, för det finns en fälla i den som inte är självklar.

Vi tar ett par exempel.

Vi börjar med n = 4, dvs vi utgår från ett polynom $ax^4+bx^3+c$ av grad 4. Om vi multiplicerar det med

• $x^2$ så blir resultatet $x^2\cdot (ax^4+bx^3+c)=ax^6+bx^5+cx^2$. Polynomet får alltså graden 6, dvs +2 jämfört med tidigare (märk att vi multiplicerade med $x^2$). Vi måste välja en faktor med lägre grad för att produkten ska bli ett polynom med graden 3.
• $x$ (dvs $x^1$) så blir resultatet $x\cdot (ax^4+bx^3+c)=ax^5+bx^4+cx$. Polynomet får alltså graden 5, dvs +1 jämfört med tidigare (märk att vi multiplicerade med $x^1$). Vi måste välja en faktor med lägre grad för att produkten ska bli ett polynom med graden 3.
• $x^0$ (dvs 1) så blir resultatet $1\cdot (ax^4+bx^3+c)=ax^4+bx^3+c$. Polynomet får alltså samma grad som tidigare. Graden ändras med 0 (märk att vi multiplicerade med $x^0$). Vi måste välja en faktor med lägre grad för att produkten ska bli ett polynom med graden 3.
• $x^{-1}$ så blir resultatet $x^{-1}\cdot (ax^4+bx^3+c)=ax^3+bx^2+cx^{-1}$. Detta är inte ett polynom, så här gick vi bet.

=============

Vi börjar istället med ett polynom av graden 2, dvs polynomet $ax^2+bx+c$. Om vi multiplicerar det med 

• $x^2$ så blir resultatet $x^2\cdot (ax^2+bx+c)=ax^4+bx^3+cx^2$. Polynomet får alltså graden 4, dvs +2 jämfört med tidigare (märk att vi multiplicerade med $x^2$). Vi måste välja en faktor med lägre grad för att produkten ska bli ett polynom med graden 3.
• $x$ (dvs $x^1$) så blir resultatet $x\cdot (ax^2+bx^2+c)=ax^3+bx^2+cx$. Polynomet får alltså graden 3, dvs +1 jämfört med tidigare (märk att vi multiplicerade med $x^1$). Det var detta vi var ute efter.

==========

Ser du mönstret?

Ser du fällan?

Kan du dra några slutsatser?