Polär form

Jag tror inte att  du behöver polär form. Jmfr denna länk.

https://socratic.org/questions/how-do-you-graph-abs-z-i-2-in-the-complex-plane

rapidos skrev:

Jag tror inte att  du behöver polär form. Jmfr denna länk.

https://socratic.org/questions/how-do-you-graph-abs-z-i-2-in-the-complex-plane

Det jag undrade mer exakt är vad alla delarna av |z-2i| = 4 står för? Hur man tolkar det uttrycket helt enkelt. Varför ger 4 just cirkelns radie och varifrån kommer nollan från punkten (0,2)?

Säg att $x$ och $x_0$ är två reella tal.

Då betyder $|x-x_0|$ avståndet mellan talen, dvs hur långt ifrån varandra de ligger på tallinjen.

På samma sätt, för de två komplexa talen $z$ och $z_0$ så betyder $|z-z_0|$ avståndet mellan talen, dvs hur långt ifrån varandra de ligger i det komplexa talplanet.

Ekvationen $|z-2i|=4$ är alltså uppfylld för alla de tal $z$, som ligger på avståndet $4$ från talet $2i$.

Detta är just definitionen av en cirkel med medelpunkt i $2i$ och radien $4$.

======

Nollan kommer från att talet $2i$ kan skrivas $0+2i$, dvs det har koordinaterna $(0,2)$ i det komplexa talplanet.

Yngve skrev:

Säg att $x$ och $x_0$ är två reella tal.

Då betyder $|x-x_0|$ avståndet mellan talen, dvs hur långt ifrån varandra de ligger på tallinjen.

På samma sätt, för de två komplexa talen $z$ och $z_0$ så betyder $|z-z_0|$ avståndet mellan talen, dvs hur långt ifrån varandra de ligger i det komplexa talplanet.

Ekvationen $|z-2i|=4$ är alltså uppfylld för alla de tal $z$, som ligger på avståndet $4$ från talet $2i$.

Detta är just definitionen av en cirkel med medelpunkt i $2i$ och radien $4$.

======

Nollan kommer från att talet $2i$ kan skrivas $0+2i$, dvs det har koordinaterna $(0,2)$ i det komplexa talplanet.

hur skulle det se ut om x-koordinaten inte var noll? alltå om medelpunkten låg på (3,2i) istället för (0,2i) ?

Sar_ah skrev:

hur skulle det se ut om x-koordinaten inte var noll? alltå om medelpunkten låg på (3,2i) istället för (0,2i) ?

Det komplexa tal som kan representeras av koordinaterna (0,2) (inte (0,2i)) i det komplexa talplanet är 0+2i eftersom den första koordinaten anger det komplexa talets realdel (dvs 0) och den andra koordinaten anger det komplexa talets imaginärdel (dvs 2).

På.samma sätt gäller att koordinaterna (7,4) representerar det komplexa talet 7+4i.

Vilket komplext tal tror du representeras av koordinaterna (3,2) (inte (3,2i))?

Yngve skrev:

Sar_ah skrev:

hur skulle det se ut om x-koordinaten inte var noll? alltå om medelpunkten låg på (3,2i) istället för (0,2i) ?

Det komplexa tal som kan representeras av koordinaterna (0,2) (inte (0,2i)) i det komplexa talplanet är 0+2i eftersom den första koordinaten anger det komplexa talets realdel (dvs 0) och den andra koordinaten anger det komplexa talets imaginärdel (dvs 2).

På.samma sätt gäller att koordinaterna (7,4) representerar det komplexa talet 7+4i.

Vilket komplext tal tror du representeras av koordinaterna (3,2) (inte (3,2i))?

jaha så för att få medelpunkten (3,2) så ska uttrycket se ut så här: |-3-2i| = 4 ?

Nej ekvationen lyder $|z-z_0|=4$, där $z_0$ är medelpunkten, så om medelpunkten ligger i 3i+4 så är $z_0=3i+4$ och ekvationen blir då $|z-(3i+4)|=4$.

Yngve skrev:

Nej ekvationen lyder $|z-z_0|=4$, där $z_0$ är medelpunkten, så om medelpunkten ligger i 3i+4 så är $z_0=3i+4$ och ekvationen blir då $|z-(3i+4)|=4$.

denna ekvation du får i slutet, ger den inte r=4 och medelpunkten (-4,-3) ?

Sar_ah skrev:

denna ekvation du får i slutet, ger den inte r=4 och medelpunkten (-4,-3) ?

Ja, det stämmer att r = 4 men nej, medelpunkten är (4,3), dvs 4+3i.

Tänk på att det står $z-z_0$, dvs $z$ minus $z_0$.

Om $z_0=4+3i$ så är $z-z_0=z-(4+3i)$

Yngve skrev:

Sar_ah skrev:

denna ekvation du får i slutet, ger den inte r=4 och medelpunkten (-4,-3) ?

Ja, det stämmer att r = 4 men nej, medelpunkten är (4,3), dvs 4+3i.

Tänk på att det står $z-z_0$, dvs $z$ minus $z_0$.

Om $z_0=4+3i$ så är $z-z_0=z-(4+3i)$

okej, så om medelpunkten ska var (3,2) -> z0 = 3 + 2i vilket i ekvationen skrivs: |z-(3+2i)|=4

alltså MP = (3,2) och r=4

Har jag förstått rätt?

Ja det stämmer.

För att kontrollera:

1. Kan du geometriskt beskriva de komplexa tal z som uppfyller ekvationen |z+3| = 1?
2. Kan du skriva ekvationen för de komplexa tal z som ligger på en cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo?

Rita gärna två figurer och visa.