Polär form

Kanske lättare om du skriver det på exponentialform (r$e^{i\theta }$)

JnGn skrev :

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med denna uppgift:

Bestäm polär form för det komplexa talet (1+2.1i)/(1-13.3i) 

Jag började med att räkna ut absolutbeloppet till (1+2.1i)=$\sqrt{1^2+(2.1{)}^2}=\sqrt{5.41}=2.236$ 

och (1-13.3i)=$\sqrt{1^2+{\left(-13.3\right)}^2}=\sqrt{1+176,89}=\sqrt{177,89}=13.338$

men jag har lite problem med hur jag ska få fram rätt argument. Jag började med att sätta in

arctan$\left(\frac{1}{2.1}\right)=25.46°$ och arctan$\left(\frac{1}{-13.3}\right)=-4.3°$

Då får jag att den första parentesen kan skrivas som z=2.326(cos25.46$°$$+i\sin$25.46$°$)

fast jag är osäker på hur man ska göra då uppgiften var ju att dela de båda parenteserna.

Jag har inte kollat dina uträkningar men du tänker rätt.

Om du har två komplexa tal $z_1$ och $z_2$ så är $z=\frac{z_1}{z_2}$ ett annat komplext tal med följande egenskaper:

$Arg(z)=Arg(z_1)-Arg(z_2)$

$Abs(z)=\frac{Abs(z_1)}{Abs(z_2)}$

Du ska alltså subtrahera vinklarna och dividera absolutbeloppen.

Det går bra att göra det med talen på "trigonometrisk" polär form precis som du har börjat.

Men snyggare är såklart att använda "exponentiell" polär form som HT-Borås har föreslagit.

ja det är nog bättre men jag har lite svårt att få det att fungera när jag ska skriva det på exponentiell polär form.

Om vi nu har båda absolutbelopp och argument hur ska man skriva ihop det?

JnGn skrev :

ja det är nog bättre men jag har lite svårt att få det att fungera när jag ska skriva det på exponentiell polär form.

Om vi nu har båda absolutbelopp och argument hur ska man skriva ihop det?

Om t.ex Abs(z) = 2 och Arg(z) = 25° så skriver du bara 

z = 2*(cos(25°) + i*sin(25°))

(byt ut 2 och 25 mot de tal du har räknat fram)

ja det var det jag försökte göra då jag skrev z=2.326(cos25.56+isin25.46) men när man ska dela talen, ska man då bara dela absolutbeloppen och argumenten med varandra ?

JnGn skrev :

ja det var det jag försökte göra då jag skrev z=2.326(cos25.56+isin25.46) men när man ska dela talen, ska man då bara dela absolutbeloppen och argumenten med varandra ?

Nej. Läs mitt svar ovan igen.

Du ska subtrahera argumenten (vinklarna) och dividera absolutbeloppen.

Du kan läsa om dessa räkneregler här.

okej så får vi då absolutbeloppet 2.236/13.338=0.168 och argumentet 25,46-(-4,3)=29.76

då får vi att z=0.168(cos(29,76)+isin(29,76))

JnGn skrev :

okej så får vi då absolutbeloppet 2.236/13.338=0.168 och argumentet 25,46-(-4,3)=29.76

då får vi att z=0.168(cos(29,76)+isin(29,76))

Metoden är rätt, men du har slarvat lite när du tog fram argument och absolutbelopp i början.

Rita en figur. Du ska alltid rita en figur. Om du ungefärligt markerar de två komplexa talen i det komplexa talplanet så ser du att dina argument inte stämmer.

• Talet (1 + 2,1i) måste ju ha ett argument större än 45 grader.
• Talet (1 - 13,3i) måste ju ha ett argument som är mindre än -45 grader.

Du har helt enkelt förväxlat real- och imaginärdelarna när du beräknade argumenten.

Du har även råkat förväxla två decimaler när du beräknade absolutbeloppet av (1 + 2,1i).

okej jag gjorde om nu och fick att arg(1+2.1i)= arctan(2.1/1)=64.54 och gjorde samma sak med arctan(-13.371)=-85.72. Då har vi arg=64.54-(-85.72)=150.26

JnGn skrev :

okej jag gjorde om nu och fick att arg(1+2.1i)= arctan(2.1/1)=64.54 och gjorde samma sak med arctan(-13.371)=-85.72. Då har vi arg=64.54-(-85.72)=150.26

Var kommer sjuan ifrån i 13,37? Var det inte 13,3?

Skulle varit / inte 7 missade det, (-13.3/1) menade jag imaginärdelen/realdelen

JnGn skrev :

Skulle varit / inte 7 missade det, (-13.3/1) menade jag imaginärdelen/realdelen

Ja fast du verkar ha slagit in fel på räknaren också.

arctan(-13,3) är ungefär lika med 85,70.

okej då får jag det till $\frac{2.326}{13.338}=0.1744$ samt argumentet 64.54-(-85.70)=150.24 och kan då skriva om till 0.1744$\left(\cos \left(150.24\right)+i\sin \left(150.24\right)\right)$

JnGn skrev :

okej då får jag det till $\frac{2.326}{13.338}=0.1744$ samt argumentet 64.54-(-85.70)=150.24 och kan då skriva om till 0.1744$\left(\cos \left(150.24\right)+i\sin \left(150.24\right)\right)$

Ja nu ser det bra ut.

Avrunda till två gällande siffror så är jag nöjd sen. :-)