polär form

K.Ivanovitj skrev :

[...] Kan man inte dra slutsatsen att vi får 2*50=100 så därför kan vi istället skriva ${\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ men [...]

Jag förstår inte alls vad du menar.

Kan du skriva $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ på polär form?

Dvs som $r\left(e^{i\phi }\right)$

K.Ivanovitj skrev :

Hej

jag har fastnat på följande uppgift:

${\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{100}$

Kan man inte dra slutsatsen att vi får 2*50=100 så därför kan vi istället skriva ${\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ men jag förstår inte varför svaret ändrar tecken till $-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

EDIT - korrigerat slarvfel.

Titta på de Moivres formel.

Om $r=Abs(z)$ och $v=Arg(z)$ så är

Abs(z^{100})=100r

$Abs(z^{100})=r^{100}$ och $Arg(z^{100})=100v$.

Eftersom $Arg(z)$ här är $\pi /3$ så är $Arg(z^{100})=100\pi /3=16\cdot 2\pi + 4\pi /3$, vilket ligger i tredje kvadranten.

Ett tips är att skriva:

$100\cdot v = w + n\cdot 2\pi$

där $n$ är ett heltal och $w \in [0,2\pi)$.

Yngve skrev :

K.Ivanovitj skrev :

Hej

jag har fastnat på följande uppgift:

${\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{100}$

Kan man inte dra slutsatsen att vi får 2*50=100 så därför kan vi istället skriva ${\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ men jag förstår inte varför svaret ändrar tecken till $-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Titta på de Moivres formel.

Om $r=Abs(z)$ och $v=Arg(z)$ så är $Abs(z^{100})=100r$ och $Arg(z^{100})=100v$.

Eftersom $Arg(z)$ här är $\pi /3$ så är $Arg(z^{100})=100\pi /3=16\cdot 2\pi + 4\pi /3$, vilket ligger i tredje kvadranten.

Formeln för absolutbeloppet stämmer inte. Det gäller att:

$Abs(z^{100}) = r^{100}$

tomast80 skrev :

Formeln för absolutbeloppet stämmer inte. Det gäller att:

$Abs(z^{100}) = r^{100}$

Tack för påpekandet. Har korrigerat.