Polär form

Ella.andersson skrev:

Jag har löst på det här sättet :

här är min lösning:

a) För att skriva ω=z^(4) i polär form, behöver vi först skriva z i polär form. Vi har z=1+i√3.

För att konvertera detta till polär form, behöver vi hitta r och θ där r är absolutbeloppet (modulus) av z och θ är argumentet (vinkeln) av z.

r = |z| = √((Re(z))² + (Im(z))²) = √((1)² + (√3)²) = √(1+3) = 2

θ = arctan(Im(z)/Re(z)) = arctan(√3/1) = π/3

Så z kan skrivas i polär form som z = 2*(cos(π/3) + i*sin(π/3)).

Nu kan vi beräkna ω = z^(4). Enligt de Moivres formel, om z = r*(cos(θ) + isin(θ)), då z^n = r^n(cos(nθ) + i*sin(nθ)).

Så ω = z^(4) = 2^4*(cos(4π/3) + isin(4π/3)) = 16(cos(4π/3) + i*sin(4π/3)).

Det stämmer

b) För att hitta de heltal n för vilka Im ω = 0 när ω = (1+i√3)^(n), behöver vi hitta de n för vilka sin(nθ) = 0, eftersom den imaginära delen av ω kommer från termen i*sin(nθ) i de Moivres formel.

Sinusfunktionen är noll vid nπ, för alla heltal n. Så vi behöver hitta de heltal n för vilka n*π/3 = nπ, vilket innebär att vi behöver hitta de n för vilka 1/3 = 1. Detta är uppenbarligen inte sant för något heltal n, så det finns inga heltal n för vilka Im ω = 0 när ω = (1+i√3)^(n).

0

Här blev det lite fel.

Du ska hitta de heltal n för vilka $n\cdot\frac{\pi}{3}=m\cdot\pi$, där $m$ är ett heltal.

Ett sådant är $n=0$ (eftersom $0\cdot\frac{\pi}{3}=0$), ett annat är $n=3$ (eftersom $3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi$), ett tredje är $n=6$ (eftersom $6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi$) och så vidare.

===============

Du kan även tänka det kompllexa talet $1+i\sqrt{3}$ som en vektor från origo till punkten $1+i\sqrt{3}$. Varje gång du multiplicerar detta tal med sig själv så blir vektorn dubbelt så lång och vrider sig $\frac{\pi}{3}$ moturs. Efter två vridningar pekar vektorn rakt åt vänster, efter 5 vridningar raktbåt höger, efter 8 vridningar rakt åt vänster igen o.s.v.

Yngve skrev:

Ella.andersson skrev:

Jag har löst på det här sättet :

här är min lösning:

a) För att skriva ω=z^(4) i polär form, behöver vi först skriva z i polär form. Vi har z=1+i√3.

För att konvertera detta till polär form, behöver vi hitta r och θ där r är absolutbeloppet (modulus) av z och θ är argumentet (vinkeln) av z.

r = |z| = √((Re(z))² + (Im(z))²) = √((1)² + (√3)²) = √(1+3) = 2

θ = arctan(Im(z)/Re(z)) = arctan(√3/1) = π/3

Så z kan skrivas i polär form som z = 2*(cos(π/3) + i*sin(π/3)).

Nu kan vi beräkna ω = z^(4). Enligt de Moivres formel, om z = r*(cos(θ) + isin(θ)), då z^n = r^n(cos(nθ) + i*sin(nθ)).

Så ω = z^(4) = 2^4*(cos(4π/3) + isin(4π/3)) = 16(cos(4π/3) + i*sin(4π/3)).

Det stämmer

b) För att hitta de heltal n för vilka Im ω = 0 när ω = (1+i√3)^(n), behöver vi hitta de n för vilka sin(nθ) = 0, eftersom den imaginära delen av ω kommer från termen i*sin(nθ) i de Moivres formel.

Sinusfunktionen är noll vid nπ, för alla heltal n. Så vi behöver hitta de heltal n för vilka n*π/3 = nπ, vilket innebär att vi behöver hitta de n för vilka 1/3 = 1. Detta är uppenbarligen inte sant för något heltal n, så det finns inga heltal n för vilka Im ω = 0 när ω = (1+i√3)^(n).

0

Här blev det lite fel.

Du ska hitta de heltal n för vilka $n\cdot\frac{\pi}{3}=m\cdot\pi$, där $m$ är ett heltal.

Ett sådant är $n=0$ (eftersom $0\cdot\frac{\pi}{3}=0$), ett annat är $n=3$ (eftersom $3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi$), ett tredje är $n=6$ (eftersom $6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi$) och så vidare.

===============

Du kan även tänka det kompllexa talet $1+i\sqrt{3}$ som en vektor från origo till punkten $1+i\sqrt{3}$. Varje gång du multiplicerar detta tal med sig själv så blir vektorn dubbelt så lång och vrider sig $\frac{\pi}{3}$ moturs. Efter två vridningar pekar vektorn rakt åt vänster, efter 5 vridningar raktbåt höger, efter 8 vridningar rakt åt vänster igen o.s.v.

hur kom du fram till n⋅π/3=m

N * pi/3 skall bli ett heltal gånger pi, men "ett heltal" kan ju vara vilket heltal som helst.

Bubo skrev:

N * pi/3 skall bli ett heltal gånger pi, men "ett heltal" kan ju vara vilket heltal som helst.

vad menar du? är svaret rätt då? 

Nej.

N * pi/3 kan bli 1*pi
N * pi/3 kan bli 2*pi
N * pi/3 kan bli 3*pi
N * pi/3 kan bli 4*pi
...och så vidare.

N * pi/3 behöver inte alls (kan inte) bli N*pi

hur kom du fram till n⋅π/3=m

Nej, jag skrev att $n\cdot\frac{\pi}{3}=m\cdot\pi$, där $m$ är ett heltal.

====== Exempel ======

Om $n=0$ så är $n\cdot\frac{\pi}{3}=0\cdot\frac{\pi}{3}=0$, vilket är ett helt antal $\pi$ radianer, vilket gör att imaginärdelen är 0.

Om $n=3$ så är $n\cdot\frac{\pi}{3}=3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi$, vilket är ett helt antal $\pi$ radianer, vilket gör att imaginärdelen är 0.

Om $n=6$ så är $n\cdot\frac{\pi}{3}=6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi$, vilket är ett helt antal $\pi$ radianer, vilket gör att imaginärdelen är 0.

Och så vidare.