polär form

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med följande uppgift:

Lös ekvationen $z^{6} = {(1 + i)}^{6}$ ange svaret på polär form.

I svaret har dom skrivit att man ska börja med att sätta $1 + i = \sqrt{2} e^{i π / 4}$ så att ${(1 + i)}^{6} = 2^{3} e^{i (3 π / 2 + 2 π k)}$

Jag förstår inte riktigt hur man ska veta att man ska ta $2^{3}$ eller $3 π / 2$

Det är ju eftersom

$\left(\sqrt{2}\right)^6 = 2^3$

och att

$\left(e^{i\pi / 4}\right)^6 = e^{3i\pi / 2}$ .

okej jag är med på första delen, den andra delen är det eftersom $\frac{6 π}{4} = \frac{3 π}{2}$ som vi får $e^{\frac{3 i π}{2}}$ ?

sedan i svaret så skriver dom z= $\sqrt{2} e^{i (\frac{π}{4} + \frac{k π}{3})}$

jag är med på pi/4 men hur får vi $\frac{k π}{3}$

Du får ju samma åpolära tal om du ökar agumentet med 2pi (alltså går ett helt varv). Därför har de i z^6 lagt till 2k*pi i argumentet. När man sen delar med 6 får man k*pi/3, vilket gör att man får 6 olika lösningar (sen kommer man tillbaka till 2pi).

Svara

Visa senaste svar